Ρευστομηχανική: προσέγγιση των θεμελιωδών εξισώσεων μέσα από τη διαφορική γεωμετρία

Αλμπάνη, Σπυριδούλα

dc.contributor.author	Αλμπάνη, Σπυριδούλα	el
dc.date.accessioned	2021-02-03T09:27:36Z
dc.date.available	2021-02-03T09:27:36Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/52867
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.20565
dc.relation	info:eu-repo/grantAgreement/EC/FP7/12345	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Ρευστομηχανική	el
dc.subject	Υδροδυναμική	el
dc.subject	Διαφορική γεωμετρία	el
dc.subject	Διανυσματική ανάλυση	el
dc.subject	Εξωτερική αλγεβρα	el
dc.subject	Fluid engineering	en
dc.subject	Hydrodynamics	en
dc.subject	Differential geometry	en
dc.subject	Vector analysis	en
dc.subject	External algebra	en
dc.title	Ρευστομηχανική: προσέγγιση των θεμελιωδών εξισώσεων μέσα από τη διαφορική γεωμετρία	el
dc.contributor.department	Τομέας Μαθηματικών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.secondaryTitle	Υδροδυναμική	el
heal.secondaryTitle	Hydrodynamics	en
heal.generalDescription	Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι να παρουσιάσει τις βασικές εξισώσεις της ρευστομηχανικής, θεμελιώνοντάς τες μέσα από τις μεθόδους της διαφορικής γεωμετρίας. Η χρήση της διαφορικής γεωμετρίας εισάγει τις μεθόδους και τον απαραίτητο φορμαλισμό για τη διατύπωση των νόμων που διέπουν την κίνηση ενός ρευστού, πάνω σε γεωμετρικούς τόπους που απέχουν από το να είναι ευκλείδειοι.	el
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Ρευστομηχανική	el
heal.classification	Υδροδυναμική	el
heal.classification	Διαφορική Γεωμετρία	el
heal.classification	Διανυσματική Ανάλυση	el
heal.classification	Εξωτερική Άλγεβρα	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.classification	Fluid Engineering	en
heal.classification	Hydrodynamics	en
heal.classification	Differential Geometry	en
heal.classification	Vector Analysis	en
heal.classification	External Algebra	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-01-29
heal.abstract	Η υδροδυναμική είναι μία από τις θεμελιώδεις περιοχές των μαθηματικών όπου η πρόοδος σε οποιαδήποτε στιγμή μπορεί να ειδωθεί ως μέτρο για να εκτιμήσουμε την πραγματική επιτυχία της ίδιας της μαθηματικής επιστήμης. Πολλές σημαντικές επιτυχίες σε αυτό το πεδίο βασίζονται σε βαθιές θεωρίες παρά στο ίδιο το πείραμα. Με τη σειρά τους οι θεωρίες επί της υδροδυναμικής κινούν την πρόοδο στα θεωρητικά μαθηματικά, όπως η μιγαδική ανάλυση, η τοπολογία, η θεωρία ευστάθειας, θεωρία διακλαδώσεων και η θεωρία των πλήρως ολοκληρώσιμων δυναμικών συστημάτων. Παρά τη διαπιστωμένη πρόοδο, η υδροδυναμική με τους εντυπωσιακούς εμπειρικούς της νόμους παραμένει πρόκληση για τους μαθηματικούς. Για παράδειγμα το φαινόμενο της τυρβώδους ροής δεν έχει ακόμα μία αυστηρή θεωρία. Επιπροσθέτως, προβλήματα υπάρξεως για τις ομαλές λύσεις των εξισώσεων της υδροδυναμικής σε ένα τρισδιάστατο ρευστό παραμένουν ακόμα ανοιχτά. Το απλούστερο πλην όμως ουσιώδες μαθηματικό μοντέλο για τη δυναμική των ρευστών είναι η υδροδυναμική του ιδανικού (δηλαδή ασυμπίεστου και άνευ ιξώδους) ρευστού. Από την μαθηματική πλευρά, η θεωρία ενός τέτοιου ρευστού που γεμίζει ένα συγκεκριμένο χωρίο δεν είναι παρά η μελέτη των γεωδαιτικών πάνω στην ομάδα των διαφορομορφισμών του χωρίου που διατηρούν αναλλοίωτο τον όγκο. Το 1765, ο L. Euler δημοσίευσε τις εξισώσεις κίνησης του άκαμπτου σώματος. Οι κινήσεις Euler περιγράφονται ως γεωδαιτικές στην ομάδα των στροφών στις τρεις διαστάσεις στον Ευκλείδειο χώρο. Κατά πως φαίνεται, υπάρχει ισχυρή σύνδεση μεταξύ της υδροδυναμικής και της διαφορικής γεωμετρίας. Σε αυτό το κείμενο αναπτύσσουμε τα πολύ βασικά στοιχεία της διαφορικής γεωμετρίας. Οι πολλαπλότητες είναι μαθηματικές οντότητες που τοπικά ομοιάζουν διαφορομορφικά με τον ευκλείδειο χώρο. Τέτοιες οντότητες μπορούν όμως να έχουν τον δικό τους διαφορικό λογισμό, δηλαδή παραγώγιση και ολοκλήρωση. Και εδώ έρχεται το πρώτο πρόβλημα: Η διαδικασία της παραγώγισης προϋποθέτει τη δυνατότητα να μετακινούμε διανύσματα από μια θέση σε μια άλλη. Σε μία αφηρημένη πολλαπλότητα δεν υπάρχει κάποιος προκαθορισμένος τρόπος να γίνει αυτό. Η γεωμετρία Riemann εφοδιάζει την πολλαπλότητα με μία δομή, ώστε να είναι εφικτό να μετρούνται αποστάσεις και έτσι να γνωρίζουμε ποιοι μετασχηματισμοί αφήνουν τη μετρική αναλλοίωτη. Κάτω από την απαίτηση για το αναλλοίωτο της μετρικής μπορούμε να μετακινούμε αντικείμενα από σημείο σε σημείο και στη συνέχεια να κάνουμε τον συνήθη διαφορικό λογισμό. Στην πράξη αυτό γίνεται σε απειροστικό επίπεδο, μέσω της συνοχής, ώστε να μπορούμε να παραγωγίζουμε αντικείμενα σεβόμενοι τη μετρική. Το δεύτερο πρόβλημα που προκύπτει σχετίζεται με την ολοκλήρωση. Ολοκλήρωση σημαίνει μέτρο. Στην περίπτωση της γεωμετρίας Riemann η μετροθεωρητικη προσέγγιση δεν βολεύει τόσο πολύ τις διατυπώσεις μας. Παρουσιάζουμε τη θεωρία των διαφορικών μορφών (που είναι ουσιαστικά τα αντικείμενα που επιδέχονται ολοκληρώσεως), ώστε να μπορούμε να έχουμε μια πλήρη θεωρία ολοκλήρωσης που ομοιάζει με εκείνη του ευκλείδειου χώρου. Το τελευταίο κεφάλαιο χρησιμοποιεί τη γεωμετρία για να εισάγει τα πολύ βασικά στοιχεία της υδροδυναμικής. Που είναι οι τρεις θεμελιώδεις εξισώσεις: Η εξίσωση της συνέχειας (συνέπεια της διατήρησης της μάζας), η εξίσωση του Euler (διατύπωση του νόμου το Νεύτωνα) και η διατήρηση της ενέργειας. Ακολουθούμε την προσέγγιση του Euler για τις συντεταγμένες. Σε αντίθεση με την κλασσική Νευτώνεια θεώρηση όπου σε ένα δοθέν σημείο 𝑥�� και για κάθε χρονική στιγμή 𝑡�� εξετάζουμε την ταχύτητα 𝑞��(𝑡��; 𝑥��) και την πυκνότητα 𝜌��(𝑡��; 𝑥��) του ρευστού, επικαλούμαστε την προσέγγιση του Euler. Εδώ οι συντεταγμένες είναι γενικευμένες και καθορίζονται μόνο από τους γεωμετρικούς περιορισμούς του προβλήματος. Συγκεκριμένα ένα σωματίδιο του ρευστού στη θέση 𝑥��0 και ξεκινώντας από τη χρονική στιγμή 𝑡��0 ακολουθεί την τροχιά του 𝑡�� ⟼ 𝑎��(𝑡��; 𝑥��) ώστε η μόνη συντεταγμένη που εξελίσσεται είναι ο χρόνος. Ακριβώς η απεικόνιση 𝑎�� είναι η σύνδεση μεταξύ νευτώνειας και Euleriανής μηχανικής.	el
heal.abstract	Hydrodynamics is one of those fundamental areas in mathematics where progress at any moment may be regarded as a standard to measure the real success of mathematical science. Many important achievements in this field are based on profound theories rather than on experiments. In turn, those hydrodynamical theories stimulated developments n the domains of pure mathematics, such as complex analysis, topology, stability theory, bifurcation theory, and completely integrable dynamical systems. In spite of all this acknowledged success, hydrodynamics with its spectacular empirical laws remains a challenge for mathematicians. For instance, the phenomenon of turbulence has not yet acquired a rigorous mathematical theory. Furthermore, the existence problems for the smooth solutions of hydrodynamic equations of a three-dimensional fluid are still open. The simplest but already very substantial mathematical model for fluid dynamics is the hydrodynamics of an ideal (i.e., of an incompressible and inviscid) homogeneous fluid. From the mathematical point of view, a theory of such a fluid filling a certain domain is nothing but a study of geodesics on the group of diffeomorphisms of the domain that preserve volume elements. In 1765, L. Euler published the equations of motion of a rigid body. Eulerian motions are described as geodesics in the group of rotations of three–dimensional Euclidean space, where the group is provided with a left-invariant metric. It seems that there is a strong interconnection between hydrodynamics and differential (Riemannian) geometry. In this text we develop the very basic elements of geometry. Manifolds are mathematical entities which are locally diffeomorphic to the euclidean space. Such entities can have their own differential calculus, that is, integration and differentiation. But here comes the first problem: If differentiation requires us to displace vectors,there is no fixed way to realize such displacements in an abstract manifold. Riemannian geometry introduces a structure –the metric– in a manifold in a way we can measure distances and know which diffeomorphisms keep the metric invariant. Under the condition of metric invariance we can now move objects between distinct positions in the manifold and do ordinary calculus. What enables us to make such motions, is given in an infinitessimal way: It is what we call a connection, in other words a way to differentiate things on directions while we respect (aka, keep fixed) the metric. The second problem that arises, relates to integration. We need a measure (or a volume). In the riemannian case, measure sources from the metric, in an analogous fashion as in euclidean spaces. Measure theoretic approachdoesn’t fit well to calculus, though. We need to introduce the so-called differential forms, which enables us to fully develop an integration theory which greatly resembles what we already know in ℝ𝑚��. The last chapter utilises geometry to formulate the very basic elements of hydrodynamics: That is, equation of continuity which relates to mass preservation, the euler equation which is the analogue of the newtons law and lastly the energy preservation equation. We follow the Eulerian approach to coordinates. In classical (Newtonian) mechanics we have the three space coordinates plus time: So, given a point 𝑥�� ∈ ℝ𝑚�� and for every moment 𝑡�� ∈ ℝ we measure the fluid velocity 𝑞��(𝑡��; 𝑥��) and density 𝜌��(𝑡��; 𝑥��). In contrast, in the eulerian way, we have the generalized coordinates, related only to the the geometrical restrictions of the problem. Now we label a fluid parcel at 𝑥��0 and at moment 𝑡��0, we let it move on its orbit 𝑡�� ⟼ 𝑎��(𝑡��; 𝑥��). We then measure its properties along its trajectory. Of cource the mapping of the orbits connects the Newtonian and the Eulerian coordinates.	en
heal.advisorName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Δούκα, Ευανθία	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	70 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false