Το θεώρημα καμπυλών του Τζόρνταν

Σοφιανίδης, Κωνσταντίνος

dc.contributor.author	Σοφιανίδης, Κωνσταντίνος	el
dc.date.accessioned	2021-03-17T06:33:47Z
dc.date.available	2021-03-17T06:33:47Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/53065
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.20763
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Τοπολογία	el
dc.subject	Θεώρημα	el
dc.subject	Καμπυλών	el
dc.subject	Τζόρνταν	el
dc.subject	Χωρία	el
dc.subject	Topology	en
dc.subject	Jordan	en
dc.subject	Curve	en
dc.subject	Theorem	en
dc.subject	Regions	en
dc.subject	Algebra	en
dc.subject	Άλγεβρα	el
dc.subject	Σύνορο	el
dc.subject	Boundary	en
dc.title	Το θεώρημα καμπυλών του Τζόρνταν	el
dc.title	The Jordan curve theorem	en
dc.contributor.department	Τομέας Μαθηματικών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.generalDescription	Η εργασία αφορά στην διατύπωση και απόδειξη του Θεωρήματος Καμπυλών Τζόρνταν, ένα θεμελιώδες θεώρημα το οποίο διατύπωσε ο Camille Jordan. Παρουσιάζονται 2 αποδείξεις με διαφορετική προσέγγιση.	el
heal.classification	Αλγεβρική Τοπολογία	el
heal.classification	Topology	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-03-05
heal.abstract	‘Μια κλειστή γραμμή χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές’. Είναι αλήθεια πως η συγκεκριμένη πρόταση δε θα προξενούσε απορία σε κάποιον αναγνώστη καθώς περιέχει μια προφανή δήλωση. Πόσο εύκολο είναι όμως να αποδειχθεί πλήρως μια τέτοια προφανής, για τα Μαθηματικά, πρόταση; Το 1838 γεννιέται στη Λυόν της Γαλλίας ο Marie Ennemond Camille Jordan. Σπούδασε στο École Ρolytechnique και εργάστηκε ως μηχανικός. Στην πορεία δίδαξε στο École Ρolytechnique και στο Collège de France και έμεινε γνωστός από τη συνεισφορά του σε αρκετούς τομείς της Άλγεβρας, όπως για παράδειγμα η Κανονική Μορφή Jordan και ο Πίνακας Jordan στην Γραμμική Άλγεβρα και φυσικά, το Θεώρημα Καμπυλών του Jordan (Jordan Curve Theorem). Όσον αφορά το τελευταίο, ο Camille Jordan διατύπωσε ρητά το θεμελιώδες θεώρημα πως μια απλή, κλειστή καμπύλη επάνω σε ένα επίπεδο διαχωρίζει το τελευταίο σε ένα εσωτερικό και ένα εξωτερικό χωρίο, κάτι το οποίο αποδείχθηκε ένα σημαντικό βήμα όσον αφορά την θεμελίωση των αυστηρών μαθηματικών εννοιών. Στο βιβλίο του Cours d'Analyse, Paris, 1893, παρουσίασε το Θεώρημα μαζί με μία απόδειξη η οποία αμφισβητήθηκε για λόγους τυπικότητας. Έκτοτε, καθώς η απόδειξη είναι αντιστρόφως ανάλογης δυσκολίας από ότι η διατύπωση του JCT, ξεκίνησε μια αλυσίδα αντιδράσεων και αρκετοί μαθηματικοί της εποχής ασχολήθηκαν με την απόδειξη αυτού του προφανούς, κατά τα άλλα Θεωρήματος . ανάμεσα σε αυτούς σπουδαίοι Έλληνες μαθηματικοί, όπως ο Χ. Παπακυριακόπουλος. Στην παρούσα εργασία συγκεντρώθηκε υλικό από ξένη και ελληνική βιβλιογραφία με σκοπό να εξετάσουμε την πορεία του Θεωρήματος και να προσεγγίσουμε την απόδειξη του. Το 1ο κομμάτι της εργασίας φέρει μια ιστορική αναδρομή για την ενδιαφέρουσα εξέλιξη του JCT από την πρώτη του διατύπωση ως τα τέλη του 20ου αιώνα. Κατόπιν, έχουν συμπεριληφθεί έννοιες και εργαλεία τα οποία θα χρειαστούν στον αναγνώστη και αποτελούν τις βάσεις για τις αποδείξεις του Θεωρήματος. Στη συνέχεια, προσεγγίζουμε την απόδειξή του JCT αρχικά χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις τεχνικές και στη συνέχεια με το Θεώρημα Σταθερών Σημείων του Brower. Συντομογραφία, JCT.	el
heal.abstract	“A closed line devides the plane into two regions”. Clearly this sentence would not raise any question to the reader as it contains an obvious statement. But how easy is it to prove such an obvious statement, from the perspective of mathematics? In 1838 Marie Ennemond Camille Jordan was born in Lyon, France. He studied at the École Polytechnique and worked as an engineer. Later on, Jordan taught at the École Polytechnique and at the Collège de France and became known from his contribution on several aspects in Algebra, such as the Jordan Normal Form and the Jordan Matrix, and of course the Jordan Curve Theorem. Regarding the last one, Camille Jordan stated clearly the fundamental theorem that a simple, closed curve lying on a plane splits the plane into an inside and an outside region, which proved to be an important step in the direction of rigorous mathematics. In his book Cours d’Analyse, Paris, 1893, he formulated the Theorem and also included a proof of it, which was challenged because of minor omissions. Since then, and since the proof of the JCT is a lot more difficult than its formulation, a chain of reactions occurred and plenty of mathematicians worked on the proof of this obvious Theorem; among them, great Greek mathematicians like C. Papakyriakopoulos. In this thesis, foreign and Greek sources were gathered in order to examine the progression of the Theorem and approach its proof. In the first part of the thesis, we will be viewing a retrospection on the interesting evolution of JCT from the moment it was originally formulated until the end of the 20th century. After that, we then present some notions and tools which will be needed as they form the base for proving the Theorem. Then, we proceed with presenting the proof of the JCT following two different approaches: by elementary means and by using the Brouwer’s Fixed Point Theorem. abbreviation, JCT.	en
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	62 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false