Εφαρμογές γινομένου Hadamard σε πίνακες

Παπαδοπούλου, Χριστίνα; Papadopoulou, Christina

dc.contributor.author	Παπαδοπούλου, Χριστίνα	el
dc.contributor.author	Papadopoulou, Christina	en
dc.date.accessioned	2021-09-02T11:03:04Z
dc.date.available	2021-09-02T11:03:04Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/53781
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.21479
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Γινόμενο Hadamard	el
dc.subject	Θεώρημα Schur	el
dc.subject	Γινόμενο Kronecker	el
dc.subject	Θετικά ορισμένοι πίνακες	el
dc.subject	Ίχνη πινάκων	el
dc.subject	Πίνακες συνδιακύμανσης	el
dc.subject	Hadamard product	en
dc.subject	Schur Theorem	en
dc.subject	Kronecker product	en
dc.subject	Positive definite matrices	en
dc.subject	Traces of matrices	en
dc.subject	Covariance matrices	en
dc.title	Εφαρμογές γινομένου Hadamard σε πίνακες	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-07-07
heal.abstract	Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία έγινε με αφορμή τη μελέτη ενός γινομένου πινάκων, του γινομένου Hadamard, το οποίο είναι διαφορετικό από το γινόμενο πινάκων όπως το γνωρίζουμε. Το γινόμενο Hadamard καλείται επίσης και κατά στοιχείο γινόμενο, εξαιτίας του τρόπου με τον οποίο ορίζεται, δηλαδή ότι πολλαπλασιάζει το αντίστοιχο στοιχείο δύο πινάκων με τις ίδιες διαστάσεις. Ονομάστηκε αρχικά γινόμενο Schur, εξαιτίας κάποιων βασικών αποτελεσμάτων που προέκυψαν ύστερα από παρατηρήσεις που έγιναν από τον Issai Schur. Μια από τις πιο βασικές αυτών είναι η κλειστότητα του κώνου σε θετικά ημιορισμένους πίνακες υπό το γινόμενο Hadamard. Αργότερα μετονομάστηκε σε γινόμενο Hadamard. Ξεκινήσαμε δίνοντας κάποια βασικά στοιχεία θεωρίας από τη Γραμμική Άλγεβρα που είναι πολύ χρήσιμα στην ανάλυση του γινομένου Hadamard. Μετά από αυτό δώσαμε πρώτα τον ορισμό του γινομένου Hadamard και μετά παρουσιάσαμε μερικά θεωρήματα που σχετίζονται κυρίως με τις ιδιότητες του γινομένου. Στη συνέχεια, μελετήσαμε πώς το γινόμενο επιδρά σε συγκεκριμένους πίνακες, όπως διαγωνοποιήσιμους πίνακες, διαγώνιους πίνακες, ερμιτιανούς και συμμετρικούς πίνακες, καθώς και τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Αναφερθήκαμε στο γινόμενο Kronecker και μελετήσαμε τη σύνδεση του με το Hadamard. Εδώ παρατέθηκαν κυρίως θεωρήματα και ιδιότητες των ιχνών γινομένων πινάκων Kronecker και Hadamard. Βασικό κομμάτι της εργασίας αποτέλεσε το Θεώρημα Γινομένου Schur, το οποίο συνδέει θετικά ορισμένους πίνακες με το γινόμενο Hadamard. Επιπλέον, δόθηκαν κάποιες ανισότητες, που όπως θα δούμε, έχουν να κάνουν περισσότερο με τη σύγκριση ιδιοτιμών πινάκων με τις ιδιοτιμές πινάκων που προκύπτουν από το γινόμενο Hadamard. Ακολούθησαν κάποιες γενικεύσεις του Θεωρήματος Schur, σε περιπτώσεις που οι πίνακες δίνονται σε διαμερισμένη μορφη. Πολύ σημαντική ήταν και η μελέτη των πινάκων Α ∘(A^(-1)) ^T και Α ∘ Α^(-1), οι οποίοι έχουν πολλές χρήσιμες ιδιότητες. Ο πίνακας Α ∘(A^(-1)) ^T χρησιμοποιείται εκτενώς στη διαδικασία ελέγχου των χημικών μηχανικών. Εκτός αυτού οι πίνακες Α ∘(A^(-1)) ^T και Α ∘ Α^(-1) παίζουν σημαντικό ρόλο σε ανισότητες και είναι στενά συνδεδεμένοι και με τους θετικά και ημιθετικά ορισμένους πίνακες. Το γινόμενο Hadamard, αν και δε χρησιμοποιείται τόσο στη θεωρία των πινάκων, παρόλα αυτά, έχει αρκετές εφαρμογές στη στατιστική ανάλυση. Στο τέλος της εργασίας βλέπουμε μια εφαρμογή του στη στατιστική πολυμεταβλητή ανάλυση. Λέξεις-κλειδιά: Γινόμενο Hadamard, Θεώρημα Schur, συμπλήρωμα Schur, γινόμενο Kronecker, θετικά ορισμένοι πίνακες, ίχνη πινάκων, συνήθης συνάρτηση, πίνακες συνδιακύμανσης.	el
heal.abstract	Abstract Τhis thesis was made on the occasion of the study of a matrix product, the Hadamard product, that is different from the matrix product as we know it. The Hadamard product is also called the entrywise product, because of the way it is defined, that is that it multiplies the corresponding entry of two matrices with the same dimensions. It was called at first Schur product, because of some basic results obtained after observations made by Issai Schur. One of the most basic of these is the closure of the cone of positive semidefinite matrices under the Hadamard product. Later was renamed the Hadamard product. We started by giving some basic elements of theory from Linear Algebra that are very useful in analyzing the Hadamard product. After that, we first gave the definition of the Hadamard product and then we presented some theorems that are related mostly with the properties of the product. Then, we studied how the product affects specific matrices, such as diagonalizable matrices, diagonal matrices, Hermitian and symmetric matrices, as well as the results that come out of this. We referred to the Kronecker product and we studied its connection with the Hadamard. Here were listed mainly theorems and properties of the traces of Kronecker and Hadamard products of matrices. Key part of the thesis constituted the Schur Product Theorem that connects the positive definite matrices with the Hadamard product. In addition, some inequalities were given, that as we will see, they have to do more with the comparison of the eigenvalues of matrices with the eigenvalues of matrices resulting from the Hadamard product. Some generalizations of the Schur Theorem followed, in cases the matrices are given in partitioned form. Very interesting was also the study of the matrices Α ∘(A^(-1)) ^T and Α ∘ Α^(-1), which have many useful properties. The matrix Α ∘(A^(-1)) ^T is used extensively in the chemical engineering process control. Except that the matrices Α ∘(A^(-1)) ^T and Α ∘ Α^(-1) play an important role in inequalities and are closely related to positive definite and semidefinite matrices. The Hadamard product, even though is not used much in Matrix Theory, however, it has many applications in statistical analysis. At the end of the thesis we see an application of the Hadamard product in the multivariate statistical analysis. Keywords: Hadamard product, Schur Theorem, Schur complement, Kronecker product, positive definite matrices, traces of matrices, ordinary function, covariance matrices.	en
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Παυλοπούλου, Κάλλια	el
heal.committeeMemberName	Στεφανέας, Πέτρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	79 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false