Τετραγωνικά υπόλοιπα και συνεχή κλάσματα

Μάστακας, Κωνσταντίνος Α.; Mastakas, Konstantinos A.

dc.contributor.advisor	Παπαϊωάννου, Αλέξανδρος	el
dc.contributor.author	Μάστακας, Κωνσταντίνος Α.	el
dc.contributor.author	Mastakas, Konstantinos A.	en
dc.date.accessioned	2011-11-18T11:31:21Z
dc.date.available	2011-11-18T11:31:21Z
dc.date.copyright	2011-11-07	-
dc.date.issued	2011-11-18
dc.date.submitted	2011-11-07	-
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/5380
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.9601
dc.description	69 σ.	el
dc.description.abstract	Η διπλωματική μου εργασία έχει σαν στόχο την μελέτη και ανάλυση της θεωρίας των “Τετραγωνικών Υπολοίπων” και των “Συνεχών Κλασμάτων”, δύο πολύ βασικών κλάδων της θεωρίας αριθμών, που έχουν εφαρμογή στην Κρυπτογραφία. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στην θεωρία αριθμών. Μελετάται η έννοια της διαιρετότητας, αποδεικνύεται η απειρία των πρώτων και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Ακόμα, ορίζεται η ισοδυναμία μεταξύ δύο αριθμών και στο τέλος του κεφαλαίου αποδεικνύονται τα θεωρήματα Euler και Fermat. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τα τετραγωνικά υπόλοιπα ενός αριθμού. Στην αρχή αποδεικνύουμε ιδιότητες των τετραγωνικών υπολοίπων περιττών πρώτων, εισάγουμε το σύμβολο του Legendre και διατυπώνουμε το κριτήριο Euler. Στην συνέχεια αποδεικνύουμε ένα από τα πιο βασικά θεωρήματα στην θεωρία αριθμών, τον “Νόμο της τετραγωνικής αντιστροφής”. Τελειώνοντας το κεφάλαιο επεκτείνουμε το σύμβολο Legendre στο σύμβολο Jacobi και κλείνουμε το κεφάλαιο με έναν αλγόριθμο που υπολογίζει το σύμβολο Jacobi. Στο τρίτο κεφάλαιο ενδιαφερόμαστε να βρούμε με αποδοτικό τρόπο τις τετραγωνικές ρίζες των τετραγωνικών υπολοίπων. Παραθέτουμε τους κλειστούς τύπους που υπάρχουν για τους πρώτους που αφήνουν υπόλοιπο 3 και 5 στην διαίρεση με το 4 και το 8 αντίστοιχα. Έπειτα παραθέτουμε τον αλγόριθμο των Tonelli και Shanks και τέλος αναπτύσουμε τον αλγόριθμο του Cornacchia. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο κάνουμε μια εισαγωγή στα συνεχή κλάσματα. Στην αρχή τα ορίζουμε και μελετάμε τις ιδιότητες των συγκλίνοντών τους. Ύστερα δείχνουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά από ένα συνεχές κλάσμα και κλείνουμε το κεφάλαιο αποδεικνύοντας ότι τα συνεχή κλάσματα αποτελούν την καλύτερη προσέγγιση ενός πραγματικού αριθμού.	el
dc.description.statementofresponsibility	Κωνσταντίνος Α. Μάστακας	el
dc.language.iso	el	en
dc.rights	ETDFree-policy.xml	en
dc.subject	Τετραγωνικά υπόλοιπα	el
dc.subject	Τετραγωνικές ρίζες	el
dc.subject	Συνεχή κλάσματα	el
dc.subject	Θεωρία αριθμών	el
dc.subject	Πρώτοι αριθμοί	el
dc.subject	Σύμβολο Legendre	el
dc.subject	Quadratic residues	en
dc.subject	Continued fractions	en
dc.subject	Number theory	en
dc.subject	Prime numbers	en
dc.subject	Legendre symbol	en
dc.title	Τετραγωνικά υπόλοιπα και συνεχή κλάσματα	el
dc.title.alternative	Quadratic residues and continued fractions	en
dc.type	bachelorThesis	el (en)
dc.date.accepted	2011-10-31	-
dc.date.modified	2011-11-07	-
dc.contributor.advisorcommitteemember	Παπαϊωάννου, Αλέξανδρος	el
dc.contributor.advisorcommitteemember	Στεφανέας, Πέτρος	el
dc.contributor.committeemember	Κουκουβίνος, Χρήστος	el
dc.contributor.committeemember	Παπαϊωάννου, Αλέξανδρος	el
dc.contributor.committeemember	Στεφανέας, Πέτρος	el
dc.contributor.department	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
dc.date.recordmanipulation.recordcreated	2011-11-18	-
dc.date.recordmanipulation.recordmodified	2011-11-18	-