Η μέθοδος των εναλλασσόμενων προβολών

Ευαγγελόπουλος, Φοίβος; Evangelopoulos, Foivos

dc.contributor.author	Ευαγγελόπουλος, Φοίβος	el
dc.contributor.author	Evangelopoulos, Foivos	en
dc.date.accessioned	2021-09-10T07:43:46Z
dc.date.available	2021-09-10T07:43:46Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/53834
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.21532
dc.rights	Default License
dc.subject	Περιοδικά γινόμενα προβολών	el
dc.subject	Οιονεί-περιοδικά γινόμενα προβολών	el
dc.subject	Tυχαία γινόμενα προβολών	el
dc.title	Η μέθοδος των εναλλασσόμενων προβολών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.secondaryTitle	The method of alternating projections	en
heal.classification	Συναρτησιακή ανάλυση	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-05-01
heal.abstract	Η μέθοδος των εναλλασσόμενων προβολών είναι, ουσιαστικά, μία επαναληπτική διαδικασία κατά την οποία προβάλλουμε αναδρομικά με κάποιον κανόνα ένα διάνυσμα πάνω σε ένα πεπερασμένο πλήθος κλειστών υποχώρων ενός χώρου Hilbert ή, γενικότερα, ενός χώρου Banach. Σε αυτήν την εργασία μελετάμε την σύγκλιση της παραπάνω μεθόδου και αναφέρουμε τα κυριότερα αποτελέσματα που μας είναι γνωστά έως και σήμερα. Στο πρώτο κεφάλαιο επικεντρωνόμαστε σε χώρους Hilbert. Δείχνουμε πως αν ο τρόπος προβολής του διανύσματος πάνω στους υποχώρους είναι περιοδικός, ή γενικότερα, οιονεί-περιοδικός, τότε η μέθοδος συγκλίνει ως προς την νόρμα, και μάλιστα στην προβολή του διανύσματος πάνω στην τομή των υποχώρων. Έπειτα, αποδεικνύουμε πως η μέθοδος συγκλίνει ως προς την ασθενή τοπολογία, ανεξαρτήτως από τον τρόπο με τον οποίο προβάλουμε το διάνυσμα, και τέλος, κατασκευάζουμε μία ακολουθία προβολών, η οποία ναι μεν συγκλίνει ασθενώς, αλλά δεν είναι ισχυρά συγκλίνουσα. Στο δεύτερο κεφάλαιο γενικεύουμε τα αποτελέσματα του πρώτου κεφαλαίου σε χώρους Banach με κάποιες καλές γεωμετρικές ιδιότητες, όπως για παράδειγμα ομοιόμορφα κυρτούς και λείους χώρους Banach. Επίσης, επεκτείνουμε τα αποτελέσματα αυτά και σε ευρύτερες κλάσεις (μη γραμμικών) απεικονίσεων, όπως για παράδειγμα προβολές βέλτιστης προσέγγισης (metric προβολές). Αφιερώνουμε το τρίτο, και τελευταίο, κεφάλαιο στις διάφορες εφαρμογές της μεθόδου των εναλλασσόμενων προβολών σε ποικίλους κλάδους των μαθηματικών.	el
heal.abstract	The method of alternating projection is, at its core, an iterative process for calculating best approximations from a finite intersection of closed subspaces in a Hilbert space. Given a finite collection of closed subspaces of a Hilbert space, at each step of this process one has to orthogonally project a vector onto one of these closed subspaces. In this thesis we investigate the convergence of this sequence of projections, and present some of the most important results known to us till the day of writing this thesis. In the first chapter, we show that given an initial point $x$, if the sequence of orthogonal projections onto the closed subspaces is taken to be periodic or even quasi-periodic, then the method converges with respect to the norm topology. In fact, the limit of this method is the projection of the vector $x$ onto the (finite) intersection of the closed subspaces. Moreover, we show that the method of alternating projections always converges with respect to the weak topology, regardless of the order projections are taken in. Lastly, we present a rather technical counterexample of a sequence of projections that does not converge in norm. In the second chapter, we generalize most of the results of the previous chapter to Banach spaces with nice geometric properties, such as (uniform) convexity and/or (uniform) smoothness. Furthermore, we deduce some nonlinear extensions of these results for wider classes of (nonlinear) maps, such as metric projections. In the last chapter, we present different applications of the method of alternating projections in various areas of mathematics.	en
heal.advisorName	Γιαννακάκης, Νικόλαος	el
heal.committeeMemberName	Γιαννακάκης, Νικόλαος	el
heal.committeeMemberName	Φελουζής, Ευάγγελος	el
heal.committeeMemberName	Δριβαλιάρης, Δημοσθένης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	180 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false