Αναλυτική απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών

Abstract

Σε αυτή τη διπλωματική εργασία παρουσιάζουμε την αναλυτική απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή που ξεκινά από το 18ο αιώνα και καταλήγει στο Riemann, που εισήγαγε τα βασικά αναλυτικά εργαλεία, και στις πρώτες αναλυτικές αποδείξεις των Hadamard και de la Vallee Poussin. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφερόμαστε σε ορισμένα σημαντικά αποτελέσματα της Θεωρίας Αριθμών πάνω στα οποία βασίζεται η απόδειξη της απειρίας των πρώτων. Στο τρίτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η θεωρία της συνάρτησης ζ του Riemann. Καταλήγουμε στη ρητή έκφραση που συνδέει τα μηδενικά της συνάρτησης ζ και τους πρώτους αριθμούς (συγκεκριμένα τη συνάρτηση ψ(x)). Το τέταρτο κεφάλαιο αποτελεί τον πυρήνα της εργασίας, καθώς είναι αυτό που πραγματεύεται την αναλυτική απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών. Στα παραρτήματα παρατίθενται βασικά εργαλεία για την απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος: ο συμβολισμός του Landau, χρήσιμα αποτελέσματα της Μιγαδικής Θεωρίας Συναρτήσεων, οι συναρτήσεις Γάμμα και Βήτα του Euler, οι αριθμοί και τα πολυώνυμα Bernoulli, ο μετασχηματισμός Mellin και η Θεωρία Αριθμητικών Συναρτήσεων.

In this essay we present the analytic proof of the Prime Number Theorem. In the first chapter, we make a short historical overview which begins from the 18th and ends in the 19th century with Riemann, who introduced the basic analytic tools, and the first analytic proofs of Hadamard and de la Vall\'ee Poussin. In the second chapter, we refer to some important results from the theory of numbers upon which the proof of the infinity of primes is founded. In the third chapter, the theory of Riemann's zeta function (zeta function) is developed. We conclude with the explicit formula which connects the zeros of zeta function and the prime numbers (specifically, the function psi(x)).The fourth chapter is the main chapter of the essay, which discusses the analytic proof of the Prime Number Theorem. In the appendices we present basic tools which are useful for the proof of the main theorem: the Landau Symbols, useful complex function theoretic results, Euler's Gamma and Beta Functions, Bernoulli numbers and polynomials, Mellin Transform and Theory of Arithmetical Functions.