Επίλυση προβλημάτων Ελλειπτικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχείων και εφαρμογές στις Εξισώσεις Μεταφοράς-Διάχυσης

Abstract

Η αριθμητική επίλυση προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς έχει αρκετές εφαρμόγες στους κλάδους της Μηχανικής όπως και της Φυσικής .Στην εργασία αυτή έγινε αναλυτική παρουσιάση της μεθόδου των Πεπερασμένων Διαφορών και της μεθόδου Galerkin με Πεπερασμένα Στοιχεία. Η ανάλυση της ευστάθειας, της συνέπειας και κατ’επέκταση της σύγκλισης των παραπάνω μεθόδων έγινε χρησιμοποιώντας μαθηματικά εργαλεία υψηλού επίπεδου όπως οι χώροι Hilbert καί Sobolev οι οποίοι μας βοήθησαν στο να δώσουμε μία ¨καλή¨ εκτίμηση των σφαλμάτων που προκύπτουν λόγω της προσεγγιστικής επίλυσης των προβλήματων με χρήση των παραπάνω μεθόδων. Στην συνέχεια έγινε εφαρμογή των παραπάνω αποτελεσμάτων στις εξισώσεις Μεταφοράς-Διάχυσης οι οποίες βρίσκουν μεγάλη εφαρμογή σε ενεργειακά προβλήματα. Τέλος πέρα από την μαθηματική ανάλυση των μεθόδων αυτών, χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα FreeFem έγινε αριθμήτικη επίλυση του προβλήματος Laplace όπως επίσης και ενός προβλήματος Μεταφοράς-Διάχυσης.

The numerical solving partial differential equations using the finite element method is particularly interesting because it has many applications in industries such as Engineering and Physics. This paper was a detailed presentation of the method of finite differences and the method of Galerkin Finite Elements. The analysis of stability, consistency and hence the convergence of these methods was made using mathematical tools high level such as Hilbert and Sobolev spaces who helped us to give a ¨ good ¨ estimate errors arising due to the approximation resolution of problems using the above methods. After that became applying these results to the transport-diffusion equations which find wide application in energy problems. Finally, beyond the mathematical analysis of these methods using the program FreeFem a numerical solution made of the Laplace problem as well as a problem-Transfer Diffusion.