Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας όχι υποχρεωτικά 
τετραγωνικών και πολυωνυμικών πινάκων

Κυριάκου, Βασιλική; Kyriakou, Vasiliki

dc.contributor.author	Κυριάκου, Βασιλική	el
dc.contributor.author	Kyriakou, Vasiliki	en
dc.date.accessioned	2021-12-23T09:39:33Z
dc.date.available	2021-12-23T09:39:33Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/54251
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.21949
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Αριθμητικό πεδίο	el
dc.subject	Προσεγγιστική ορθογωνιότητα	el
dc.subject	Ορθογωνιότητα	el
dc.subject	Σύνολα Birkhoff-James	el
dc.subject	Γραμμική δέσμη	el
dc.subject	Σύνορο	el
dc.title	Σύνολα Birkhoff-James ε-ορθογωνιότητας όχι υποχρεωτικά τετραγωνικών και πολυωνυμικών πινάκων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Ανάλυση Πινάκων	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-07-07
heal.abstract	Η εργασία πραγματεύεται τα σύνολα Birkhoff-James προσεγγιστικής ορθογωνιότητας πινάκων που δεν είναι υποχρεωτικά τετραγωνικοί, αλλά και των πολυωνυμικών. Με την εκπόνησή της επιχειρούμε να μελετήσουμε τις βασικές ιδιότητες των συνόλων αυτών και τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται με τα αριθμητικά πεδία πινάκων. Ξεκινώντας τη μελέτη μας, παραθέτουμε στο πρώτο κεφάλαιο, που αποτελεί και το εισαγωγικό, όλες τις έννοιες και τους ορισμούς που είναι απαραίτητοι για την πλήρη κατανόηση του περιεχομένου του πονήματος. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετούμε το κλασικό αριθμητικό πεδίο των τετραγωνικών πινάκων. Το αριθμητικό πεδίο αυτό έχει πολλές ιδιότητες, οι οποίες θα αποβούν ιδιαίτερα χρήσιμες στην πορεία της εργασίας, με κυριότερες αυτές της κυρτότητας και της συμπάγειάς του. Στη συνέχεια, αναπαριστούμε το αριθμητικό πεδίο ενός τετραγωνικού πίνακα με τη μορφή υπεραριθμήσιμης τομής κλειστών κυκλικών δίσκων. Η μορφή αυτή που κατασκευάσαμε, μας οδηγεί σε μία νέα έκφραση του αριθμητικού πεδίου τετραγωνικών πινάκων, η οποία βασίζεται στην αποκλειστική χρήση της νόρμας. Στηριζόμενοι στον νέο ορισμό του πεδίου των τετραγωνικών πινάκων που προέκυψε, καταφέρνουμε επεκτείνοντάς τον, να ορίσουμε στο τρίτο κεφάλαιο το αριθμητικό πεδίο πινάκων που δεν είναι κατ’ ανάγκη τετραγωνικοί. Επιπλέον, στο τρίτο κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια της Birkhoff-James ορθογωνιότητας και παρουσιάζουμε το αριθμητικό πεδίο πινάκων που δεν είναι κατ’ ανάγκη τετραγωνικοί, με τη μορφή συνόλου Birkhoff-James ορθογωνιότητας. Συνεχίζοντας, προχωράμε σε επεξήγηση και αιτιολόγηση της χρήσης του γενικού πίνακα Β∈C^(n×m), στον ορισμό του αριθμητικού πεδίου όχι υποχρεωτικά τετραγωνικών πινάκων και διερευνούμε τις σημαντικότερες από τις ιδιότητες του. Οδεύοντας προς το τέλος του τρίτου κεφαλαίου, μελετάμε το αριθμητικό πεδίο μιας γραμμικής δέσμης πινάκων, καθώς και τις χαρακτηριστικές τιμές των πινάκων που δεν είναι υποχρεωτικά τετραγωνικοί. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εφιστούμε το ενδιαφέρον στο να ορίσουμε τις έννοιες της Birkhoff-James προσεγγιστικής ορθογωνιότητας και του συνόλου Birkhoff-James ϵ-ορθογωνιότητας. Μελετάμε εκτενώς τις ιδιότητες του συνόλου ϵ-ορθογωνιότητας, αλλά και το συνόρου του και αποδεικνύουμε τη συνέχειά του ως προς έναν πίνακα A∈C^(n×m) και προς μία παράμετρο ϵ. Αναλύουμε επίσης τι συμβαίνει με τη συνέχεια του συνόλου αυτού ως προς έναν πίνακα Β∈C^(n×m). Στο τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας, παρουσιάζουμε τους πολυωνυμικούς πίνακες και ορίζουμε το κλασικό αριθμητικό τους πεδίο, αλλά και το αριθμητικό πεδίο ενός πολυωνυμικού πίνακα ως προς έναν όχι υποχρεωτικά τετραγωνικό. Συνεχίζοντας, προσδιορίζουμε το σύνολο Birkhoff–James ϵ –ορθογωνιότητας ενός πολυωνυμικού πίνακα ως προς έναν όχι υποχρεωτικά τετραγωνικό. Τέλος, αναλύουμε τις βασικότερες ιδιότητες του συνόλου που κατασκευάσαμε.	el
heal.abstract	This diploma thesis examines the Birkhoff-James approximate orthogonality sets of rectangular matrices, as well as polynomial matrices. We conduct a study of the basic properties of these sets and the way they are associated with the numerical ranges of matrices. In the first, introductory chapter, we present all the mathematical concepts and definitions necessary for a thorough understanding of the thesis. In the second chapter, we study the standard numerical range of square matrices. The numerical range in question has many properties, which will turn out particularly useful in the course of the study. The principal properties we focus on are convexity and compactness. Then, we write the numerical range of a square matrix as an infinite intersection of closed (circular) discs. This new form we created is a new definition of the numerical range of square matrices, based on the exclusive use of the norm. In the third chapter, based on this new definition, we define the numerical range of rectangular matrices, as its extension. Moreover, we introduce the Birkhoff-James orthogonality and present the numerical range of rectangular matrices in the form of a Birkhoff-James orthogonality set. We proceed with the explanation and justification for the use of the (general) matrix Β∈C^(n×m), in the definition of numerical range of rectangular matrices and we examine its most important properties. Moving towards the end of the third chapter, we study the characteristic values of rectangular matrices, as well as the numerical range of a linear pencil. In the fourth chapter, we shift our interest to the definition of the Birkhoff-James approximate orthogonality and the Birkhoff-James ϵ-orthogonality set. We study extensively the properties of the Birkhoff-James ϵ-orthogonality set and its boundary and we prove its continuity of the Birkhoff-James ϵ-orthogonality set, with respect to a matrix A∈C^(n×m) and the real parameter ϵ. Also, we examine what happens with the continuity of this set, with respect to a matrix Β∈C^(n×m). In the last chapter of this thesis, we present the polynomial matrices and define the standard numerical range of a polynomial matrix, as well as the numerical range of a matrix polynomial, with respect to a rectangular matrix. Ultimately, we define the Birkhoff-James ϵ-orthogonality set of a polynomial matrix, with respect to a rectangular matrix and discuss its principal properties.	en
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	114 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false