Μαθηματικά μοντέλα στην οικολογία

Καλόγηρος, Δημήτριος; Kalogiros, Dimitrios

dc.contributor.author	Καλόγηρος, Δημήτριος	el
dc.contributor.author	Kalogiros, Dimitrios	en
dc.date.accessioned	2022-01-27T17:27:29Z
dc.date.available	2022-01-27T17:27:29Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/54424
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.22122
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Μαθηματική προτυποποίηση	el
dc.subject	Μερικές διαφορικές εξισώσεις	el
dc.subject	Βελτιστοποίηση	el
dc.subject	Εκτιμήτρια πυρήνα	el
dc.subject	Οικολογία	el
dc.subject	Mathematical modeling	en
dc.subject	Partial differential equations	en
dc.subject	Optimization	en
dc.subject	Kernel estimator	en
dc.subject	Ecology	en
dc.title	Μαθηματικά μοντέλα στην οικολογία	el
dc.title	Mathematical Models in Ecology	en
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-10-08
heal.abstract	Η παραγωγή των καλλιεργειών στη σύγχρονη γεωργία στηρίζεται ουσιαστικά στο νερό και τα λιπάσματα (Boserup, 2005). Είναι, επομένως, κρίσιμο να υιοθετηθούν αποδοτικές πρακτικές διαχείρισης των καλλιεργειών ώστε να μεγιστοποιηθεί η αποδοτικότητά τoυς στην απορρόφηση ζωτικών συστατικών υπό τους εξής περιορισμούς: τη δραματική μείωση της καλλιεργήσιμης γης, τις περιορισμένες ποσότητες υδάτινων πόρων, την κλιματική αλλαγή (αλλαγές στις βροχοπτώσεις, αύξηση θερμοκρασίας) και τη βιώσιμη αγροτική παραγωγή (Lynch, 2011). Για να επιτευχθεί αυτός ο απώτερος σκοπός, είναι απαραίτητο να βελτιωθεί η κατανόηση των λειτουργικών μηχανισμών που διέπουν την ανάπτυξη των ριζών των φυτών. Επομένως, η ανάπτυξη μεθόδων παρατήρησης και χαρακτηρισμού (ποσοτική περιγραφή) των μοτίβων ανάπτυξης των ριζών είναι εξαιρετικά σημαντική. Σήμερα είναι πια δυνατή η εξαγωγή ποσοτικών χαρακτηριστικών της αρχιτεκτονικής των ριζικών συστημάτων με ημι-αυτοματοποιημένες μεθόδους συμπεριλαμβανομένων του αριθμού των ριζών, του συνολικού τους μήκους, του προσανατολισμού τους καθώς και της συνολικής περιοχής που καλύπτουν στο μέσο που διαβιούν (Le Bot et al., 2010; Leitner et al., 2014). Παρόλο που πολλά σημεία τα οποία αφορούν στην ανάπτυξη των επιμέρους ριζών είναι επαρκώς μελετημένα και σε μεγάλο βαθμό κατανοητά, η λεπτομερής αναπαράσταση των διεργασιών ανάπτυξης όλων των ριζών αποκαλύπτει περίπλοκες γεωμετρίες του ριζικού συστήματος (Zhu et al., 2011). Μολονότι οι παρατηρήσεις και οι μετρήσεις σχετικά με τις μορφολογίες του ριζικού συστήματος μπορούν να παράξουν γρήγορα τεράστιες ποσότητες δεδομένων, οι τελευταίες συνήθως συνοψίζονται σε γενικές περιγραφές του ριζικού συστήματος όπως το συνολικό μήκος των ριζών, το μέγιστο βάθος που μπορούν να φτάσουν ή την κατανομή των τιμών της διαμέτρων των ριζών. Δυστυχώς όμως δεν εκτιμούν τις παραμέτρους που αφορούν στο μηχανισμό της ανάπτυξης των ριζών που θα μπορούσαν να ρίξουν φως στο πώς δημιουργούνται οι περίπλοκες αρχιτεκτονικές των ριζικών συστημάτων. Αυτό το κενό στο μετασχηματισμό των αρχικών φαινοτυπικών δεδομένων που είναι διαθέσιμα, σε μία μορφή απλών παραμέτρων που θα περιγράφουν με συνέπεια την επιμήκυνση των ριζών και τις διεργασίες που σχετίζονται με ανάπτυξη της αρχιτεκτονικής του ριζικού συστήματος παραμένει ένα σημαντικό πρόβλημα. Η εν λόγω αδυναμία περιορίζει εξαιρετικά την κατανόησή μας σχετικά με την ανάπτυξη του ριζικού συστήματος εμποδίζοντας γενετιστές και καλλιεργητές στις συντονισμένες προσπάθειές τους να αναπτύξουν νέες ποικιλίες καλλιεργειών με ιδεοτύπους ριζών που διαθέτουν βελτιωμένα συστήματα με σκοπό την επίτευξη του βέλτιστου οικονομικού επιπέδου στα πλαίσια πάντα αειφόρων αγροτικών πρακτικών. Μαθηματικά μοντέλα θα μπορούσαν να αποτελέσουν μια εναλλακτική ώστε να αποσαφηνίσουμε την περίπλοκη διαδικασία της ανάπτυξης του ριζικού συστήματος και να εντοπίσουμε τις επιμέρους διεργασίες ανάπτυξης που αποτελούν τη βάση της σύνθετης αρχιτεκτονικής δομής των ριζικών συστημάτων. Πιο συγκεκριμένα, τα μοντέλα που για να περιγράψουν την αρχιτεκτονική δομή των ριζών των φυτών στηρίζονται σε συνεχείς συναρτήσεις πυκνότητας (στο εξής θα αναφέρονται ως density-based models) είναι πολλά υποσχόμενα, επειδή ακριβώς συγκεντρώνουν την κατανομή των ριζών σε συναρτήσεις πυκνότητας περιγράφοντας με αυτόν τον τρόπο την ανάπτυξη των ριζών στο έδαφος. Αυτές οι συναρτήσεις πυκνότητας των ριζών που εξαρτώνται από το χώρο και το χρόνο μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια εξισώσεων διατήρησης μάζας (Addiscott and Whitmore, 1987). Με αυτόν τον τρόπο μάλιστα διευκολύνονται οι σχετικές μελέτες και αντιπαραβολές ανάμεσα στα πειραματικά δεδομένα και τα αποτελέσματα των μοντέλων, αφού η συνάρτηση πυκνότητας μήκους των ριζών αποτελεί ένα άμεσο αποτέλεσμα που εξάγουν τα εν λόγω μαθηματικά μοντέλα. Αυτό με τη σειρά του καθιστά δυνατή την εκτίμηση από ένα εύρος πειραματικών δεδομένων εκείνων των παραμέτρων του μοντέλου που αντανακλούν και περιγράφουν ποσοτικά συγκεκριμένους βιολογικούς μηχανισμούς. Η χρήση των προσανατολισμένων συνεχών συναρτήσεων κατανομής εμφανίστηκε πρόσφατα ως μία εναλλακτική στην προτυποποίηση τοπολογικών δομών (Dupuy et al., 2005c). Ένα από τα βασικά πλεονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι η μαθηματική περιγραφή των αρχιτεκτονικών χαρακτηριστικών των ριζικών συστημάτων, συμπεριλαμβανομένου του προσανατολισμού των ριζών, μέσω συνεχών συναρτήσεων κατανομής καθιστώντας έτσι αχρείαστη την πιστή αναπαράσταση των επιμέρους ριζών. Τα εν λόγω μοντέλα αναπτύχθηκαν και αναλύθηκαν επίσης στη μελέτη των Bastian et al. (2008) ως ένας τρόπος να περιγραφεί η σχέση ανάμεσα στην κίνηση των επάκριων μεριστωμάτων και της δυναμικής (μεταβολής) της πυκνότητας μήκους των ριζών. Ένα γενικό πλαίσιο διατυπώθηκε μεταγενέστερα συνδυάζοντας την ανάπτυξη των επάκριων μεριστωμάτων με την έννοια των (προσανατολισμένων) συναρτήσεων πυκνότητας (Dupuy et al., 2010b). Οι εξισώσεις διατήρησης μάζας σε αυτό το πλαίσιο είναι σαφώς περισσότερο συμβατές με την βιολογία των ριζικών συστημάτων δεδομένου ότι οι παράμετροι του μοντέλου σχετίζονται άμεσα με τις διεργασίες ανάπτυξης όπως την επιμήκυνση των ριζών και το ρυθμό εμφάνισης πλευρικών ριζών. Η εργασία που παρουσιάζεται εδώ ερευνά τη δυναμική αυτής της προσέγγισης ως προς τη συμβολή αυτών των μοντέλων στην βελτίωση των καλλιεργειών καθώς και στην επιτάχυνση και βελτίωση της γενετικής ανάλυσης στο μέλλον. Πιο συγκεκριμένα, η εν λόγω εργασία εστιάζει στην ανάπτυξη προσανατολισμένων μοντέλων με βάση τις συναρτήσεις πυκνότητας, στην παραμετροποίησή τους καθώς και στην εφαρμογή τους σε πειραματικά δεδομένα που αφορούν τον φαινότυπο των ριζών. Σημαντικά στοιχεία που χαρακτηρίζουν τη συγκεκριμένη εργασία αφορούν στη βελτιωμένη εφαρμογή μεθόδων αριθμητικής ανάλυσης που χρησιμοποιήθηκαν στη διακριτοποίηση των εξισώσεων του μοντέλου και αναφέρονται στη δυναμική της ανάπτυξης του ριζικού συστήματος. Επιπλέον, η συμπερίληψη χρονοϋστέρησης στις προσομοιώσεις του μοντέλου αντικατοπτρίζει το φαινόμενο που χαρακτηρίζει την ανάπτυξη των διακλαδώσεων των βασικών ριζών και παρατηρείται στην πράξη. Η ανάπτυξη απλών και καινοτόμων μεθόδων για την ανάλυση και κατανόηση της αρχιτεκτονικής του ριζικού συστήματος, όπως αυτή αποτυπώνεται στα πειραματικά δεδομένα που αφορούν στο φυτό Brassica rapa, επικεντρώνεται στη μετατροπή των διακριτών σημείων, με τις όποιες ασυνέχειες που παρατηρούνται στα πειραματικά δεδομένα, κατόπιν χαρτογράφησης του ριζικού συστήματος και ανάλυσης των εικόνων όπως αυτές συλλέγονται κατά τη διάρκεια του πειράματος, σε συνεχείς συναρτήσεις. Έτσι καθίσταται δυνατή η σύγκριση και αντιπαραβολή με τα αποτελέσματα του μοντέλου. Επομένως, η συγκεκριμένη εργασία προτείνει μια γενικά εφαρμόσιμη τεχνική ανεξάρτητη του εκάστοτε συστήματος μελέτης φαινοτύπων ριζών που χρησιμοποιείται για τη συλλογή των πειραματικών δεδομένων. Επιπροσθέτως, οι μαθηματικές προσομοιώσεις κάνουν χρήση μεθόδων για την εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου που αφορούν σε ένα εύρος δεδομένων (πρωταρχικές και δευτερεύουσες ρίζες). Οι συγκεκριμένες μέθοδοι μάλιστα ερευνούν την πολυπλοκότητα και ποικιλία στα μοτίβα ανάπτυξης της αρχιτεκτονικής των ριζικών συστημάτων εκτιμώντας ποσοτικά εκείνα τα γνωρίσματα των ριζών που τα καθορίζουν. Μάλιστα, το εν λόγω ενοποιημένο πλαίσιο που παρουσιάζεται για την παραμετροποίηση του μοντέλου και την εκτίμηση των παραμέτρων του θα μπορούσε μελλοντικά να εφαρμοστεί σε ακόμη μεγαλύτερη συλλογή δεδομένων, αφού είναι εφαρμόσιμο σε ένα ευρύ σύνολο δεδομένων που ενδέχεται να αφορούν σε διάφορα πειραματικά μέσα και σχεδιασμούς. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι η φύση των δεδομένων που είναι διαθέσιμα για την εκτίμηση των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν την ανάπτυξη του ριζικού συστήματος επηρεάζει άμεσα την ποιότητα των αποτελεσμάτων του μοντέλου μέσω του αριθμού των φυτών που χρησιμοποιούνται κάθε χρονική στιγμή στο κάθε πείραμα καθώς επίσης και του επιτρεπόμενου εύρους του συντελεστή κλίμακας (scaling factor) που χρησιμοποιείται στα δεδομένα και αποτελεί μία ιδιαίτερα σημαντική παράμετρο. Το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου από τα πειραματικά δεδομένα συνίσταται στην αποσαφήνιση των κύριων παραγόντων αιτιώδους συνάφειας. Συνεπώς, η μεγαλύτερη δυσκολία έγκειται στην επιλογή της κατάλληλης μεθόδου βελτιστοποίησης και εύρεση εκείνων των ακροτάτων (εν προκειμένω ελαχίστων τιμών) της αντικειμενικής συνάρτησης που οδηγούν στον υπολογισμό των τιμών των παραμέτρων που όταν εισαχθούν στο μοντέλο θα παράξουν ορθές και εύχρηστες ποσοτικές πληροφορίες που α) θα διατηρούν το φυσικό τους περιεχόμενο και σημασία, ενώ β) θα προκύπτουν από μια διαδικασία παραμετροποίησης που θα είναι συμβατή με τα πειραματικά δεδομένα. Το πλαίσιο που παρουσιάζεται σε αυτή την εργασία δύναται α) να εκτιμήσει τις παραμέτρους του μοντέλου μέσω της ελαχιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης με βιολογική σημασία και ερμηνεία, β) να παρέχει γνώση σχετικά με την αλληλεπίδραση των διαφορετικών μηχανισμών ανάπτυξης των ριζών και γ) να συμπεριλάβει στην ανάλυση τις αντίρροπες επιδράσεις ανάμεσα στην ακρίβεια, την καταλληλότητα, την πληρότητα και την πολυπλοκότητα της εκάστοτε μεθόδου βελτιστοποίησης (Kokash, 2005). Το κύριο πλεονέκτημα της συγκεκριμένης μεθοδολογίας βελτιστοποίησης (preference-based procedure) ως προς την εφαρμογή του μοντέλου σε πειραματικά δεδομένα είναι ότι η χρησιμοποιούμενη αντικειμενική συνάρτηση οδηγεί σε ένα συγκεκριμένο σύνολο παραμέτρων κάθε φορά (σε αντίθεση με την ideal multi-objective procedure). Επιπλέον, ένας από τους βασικούς στόχους της προσέγγισης που παρουσιάζεται όσον αφορά στη βελτιστοποίηση των παραμέτρων του μοντέλου είναι να προτείνει ένα ενοποιημένο πλαίσιο για την εφαρμογή του μοντέλου σε ένα ευρύ σύνολο πειραματικών δεδομένων. Ωστόσο, κάθε αλλαγή στα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα οδηγεί σε διαφορετική κάθε φορά αντικειμενική συνάρτηση. Συνεπώς, η επιλογή ενός αποδοτικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης που θα είναι εφαρμόσιμος σε διάφορα πειραματικά δεδομένα χωρίς την ανάγκη να μελετώνται κάθε φορά οι ιδιότητες της εκάστοτε αντικειμενικής συνάρτησης, όπως η διαφορισιμότητα και η κυρτότητα, είναι ύψιστης σημασίας. Αυτός είναι και ο κύριος λόγος που επιλέγονται η συγκεκριμένη συνάρτηση κόστους, όπως παρουσιάζεται σε αυτή την εργασία, το συγκεκριμένο πλαίσιο εκτίμησης των παραμέτρων και η μέθοδος βελτιστοποίησης Nelder-Mead, η οποία δεν εξαρτάται από τις παραγώγους της αντικειμενικής συνάρτησης, αφού ικανοποιούν τον παραπάνω πρωταρχικό σκοπό. Η Nelder-Mead είναι μία ευριστική μέθοδος βελτιστοποίησης που έχει χρησιμοποιηθεί αρκετά σε διάφορα προβλήματα βελτιστοποίησης στη χημεία, τη μηχανική και την ιατρική (Lagarias et al., 1998). Χωρίς να απαιτεί χρήση περιορισμών ως προς τις δυνατές τιμές των παραμέτρων, η αναζήτηση ελαχίστου της αντικειμενικής συνάρτησης διατρέχει στο μέγιστο δυνατό τον παραμετρικό χώρο διευκολύνοντας κατά συνθήκη και την εύρεση ολικού ελαχίστου της αντικειμενικής συνάρτησης. Σε αυτή την εργασία, η αντικειμενική συνάρτηση θα μπορούσε να μελετηθεί επίσης και με στοχαστικές μεθόδους εύρεσης ολικών ακροτάτων όπως την basin hopping, την μετα-ευριστική αυτή μέθοδο, η οποία σε συνδυασμό με τη μέθοδο Nelder-Mead θα μπορούσε να συμβάλει στον αξιόπιστο και σχετικά γρήγορο εντοπισμό ολικών ακροτάτων της αντικειμενικής συνάρτησης (Stefanescu, 2007). Εξάλλου, ο εντοπισμός ολικών ακροτάτων είναι σημαντικός στο γενικό πρόβλημα βελτιστοποίησης καθώς σε συνδυασμό με την κατάλληλη ερμηνεία μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση προβλημάτων που ενδέχεται να παρουσιαστούν στην εκτίμηση των παραμέτρων που περιγράφουν το ρυθμό επιμήκυνσης των ριζών καθώς και το ρυθμό εμφάνισης διακλαδώσεων, όπου δύο διαφορετικοί συνδυασμοί αριθμητικών τιμών μπορούν να οδηγήσουν στην ίδια συνάρτηση κατανομής μήκους ριζών. Η ανάπτυξη νέων τεχνολογιών που διευκολύνουν την ανάλυση μεγάλου αριθμού φαινοτύπων ριζών δημιουργεί νέες θεωρητικές και πρακτικές προκλήσεις που σχετίζονται με την ερμηνεία των πειραματικών δεδομένων και την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων από αυτά. Έτσι, λοιπόν, απαιτείται η ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων που θα συμβάλουν στην καλύτερη κατανόηση και εξαγωγή χρήσιμων πληροφοριών από τα διαθέσιμα δεδομένα. Η συγκεκριμένη εργασία παρουσιάζει πώς τα εν λόγω μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν την ανάπτυξη των ριζών ενώ στηρίζεται σε μια μηχανιστική προσέγγιση που είναι συμβατή με διάφορα πειραματικά δεδομένα, παραδείγματος χάριν εκείνα που ενδεχομένως προέρχονται από πειράματα στο έδαφος όπου μόνο τμήματα του ριζικού συστήματος είναι ορατά. Οι διάμετροι των ριζών θα μπορούσαν, επιπλέον, να χρησιμοποιηθούν ως ένας ακόμη τρόπος διαφοροποίησης μεταξύ των βασικών και των δευτερευόντων ριζών ακόμη και σε δυναμικά δεδομένα που περιλαμβάνουν περισσότερα από ένα χρονικά διαστήματα. Στο απώτερο μέλλον, τα συγκεκριμένα μοντέλα θα μπορούσαν να συμπεριλάβουν πληροφορίες σχετικά με τον γενότυπο αλλά και επιπλέον στοιχεία που αφορούν στη φυσιολογία των φυτών. Επίσης, η εφαρμογή του γενικευμένου μοντέλου σε πειραματικά δεδομένα στον τρισδιάστατο χώρο αποτελεί ένα ακόμη πρόσφορο πεδίο έρευνας. Επιπλέον, η εξάρτηση των παραμέτρων από τον χώρο και τον χρόνο μπορεί να εφαρμοσθεί ώστε να βελτιωθεί ενδεχομένως η απόδοση του μοντέλου όπου κρίνεται σκόπιμο. Η μέθοδος των travelling wavelet θα μπορούσε επίσης να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με τη χρήση βασικών συναρτήσεων όσον αφορά την αριθμητική επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων του μοντέλου (Basdevant et al., 1990; Benhamidouche et al., 1999), ενώ συνδυασμοί μεταξύ in vivo και in silico πειραμάτων στο μέλλον θα μπορούσε να αποδειχθεί επωφελής. Μια ακόμη πιο γενικευμένη παραλλαγή της μεθόδου θα μπορούσε δυνητικά να αναλύει ακόμη μεγαλύτερα πειραματικά δεδομένα για πιο αποδοτική και γρήγορη εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου. Γίνεται πλέον όλο και πιο σαφές ότι όλες οι παραπάνω τεχνολογικές εξελίξεις θα διαδραματίσουν καθοριστικό ρόλο στην ικανότητά μας εν γένει να χρησιμοποιήσουμε μοντέλα στη φαινομική των φυτών και να βελτιώσουμε τις καλλιέργειες για πιο αποδοτικά αγροτικά συστήματα.	el
heal.abstract	Crop yield in modern agriculture relies substantially on water and fertilisers (Boserup, 2005). It is, therefore, crucial to adopt efficient crop management strategies in order to maximise the efficiency of crops to absorb vital resources under the following constraints: the shrinkage of arable land, the restricted amount of water resources, the climate change (uneven rainfall) and sustainable agriculture (Lynch, 2011). In order to achieve this overarching aim, it is essential to improve our understanding of the functional mechanisms of root growth. Therefore, the development of methods to observe and characterise root growth patterns is crucial. The bulk of research in root biology depends heavily on experimental data. The development of high throughput phenotyping facilities in combination with the advancement of the semi-automated image analysis software facilitate the generation of large amounts of root data. However, morphology and topology of root systems is usually outlined by the total root length, the maximum root depth or the range of root diameters without providing any quantitative information that enables the characterisation of the underlying functional mechanisms which give rise to complex root system architectures (RSAs) (Le Bot et al., 2010; Leitner et al., 2014). Therefore, valuable insights into the key growth parameters of root system development are essential for assisting root biologists and farmers in their efforts to identify the root phenotypes that are ideal for improved nutrient capture with the aim of efficiently maximising crop yield. The density-based models presented in this dissertation are mathematical models that depict the structure of the root systems (geometry and topology) as continuous maps and quantitatively describe the main RSA developmental mechanisms by incorporating them as parameters in the model equations. The spread of roots in the growing medium (soil, filter paper etc.) can be mathematically formulated by the conservation equation of continuous density distribution functions, which include the root angle, defined over space and time (Addiscott and Whitmore, 1987). Initially, Bastian et al. (2008) built up root apical growth models in order to formulate the dependence of the dynamic change in root length density on the root tip movement. Then, a more general approach integrating the concept of the root tip wavefront with the continuous density distribution functions was proposed by Dupuy et al. (2005c) and Dupuy et al. (2010b). This modelling approach is also suitable for juxtaposing real root length data and model results since root length density functions can be calculated directly through the model. Thus, the hereby suggested modelling framework can be employed in order to extract useful information from various datasets, irrespective of their format, in terms of model parameters that most importantly retain their biological significance and pertain to root growth functions such as the rate of root elongation and the rate at which laterals emanate from the mother root axes. This work presents the basis of the mathematical density-based models of RSA as well as the integrated framework for using these models in order to extract biologically significant information on the key developmental mechanisms of RSA from the available experimental data. This dissertation explains why density-based models have the potential to facilitate, upscale and enhance the analysis of root datasets by providing useful tools and new insights into root biology and plant breeding. The model presented in this work and its application to experimental data suggests that these innovative methods can be used for generating continuous RSA maps based on root density distributions from partially observed and/or discrete experimental data so that they can be directly compared with the model results. Thus, these methods are applicable to varied root data from various phenotyping facilities and also form the core of an integrated framework, for extracting information from data by estimating key root growth parameters and characterising the growth patterns by quantitatively describing the RSA developmental mechanisms. In addition, incorporating the time lag in the initiation of lateral roots with respect to the formation of the mother roots allows the model to describe RSA development more accurately. The enhanced implementation of the suitable numerical methods for solving the partial differential equations in the model leads to cost-efficient simulation of the dynamics of root growth. The presented pipeline is applicable to data from a wide range of plant species, while the nature of the data available for extracting root growth parameters as well as the number of replicates taken at a specific time point influence the quality of the estimations of model parameters. In addition, the range of acceptable values of the scaling factor applied to root densities that are based on data is of major significance. Regarding the model parameter estimation, the adequate assessment and selection of the most suitable optimisation algorithm is one of the main problems that needs to be properly addressed. As in any inverse problem, the main issue is the identification of this optimiser which can output these parameter values that are biologically meaningful providing information based on real data consistently, robustly and accurately. The employed optimisation approach incorporates all the necessary performance criteria, which retain the biological significance of the estimated model parameters, in the cost function. The presented framework takes into account the fact that the root growth parameters are inextricably linked with the reposition and reorientation of roots while considering the trade-off between optimality, accuracy, completeness and complexity of the employed optimisation method (Kokash, 2005). A preference-based procedure incorporated in the optimisation framework outputs a single set of optimal values for the estimated parameters. However, the versatility of an efficient optimisation algorithm that has the potential to work efficiently with various cost functions, which change with respect to the available root data, without constraints related to the differentiability and convexity of the cost function, is of paramount importance. Therefore, based on the analysis presented in this work, the employed optimiser of Nelder-Mead, which is derivative-free, as well as the proposed cost function proved to be adequate for the analysis. Nelder-Mead is an efficient heuristic optimisation algorithm, popular for solving problems in chemistry, engineering and medicine (Lagarias et al., 1998), which might also facilitate the investigation for global optima. It is worth mentioning that the cost function as formulated in this work can also be used with global non-linear optimisers (e.g. basin hopping). Calculation of global optima is important in this specific problem, because non-identical sets of optimal values of the later root elongation rate and the main root branching rate can generate identical root length density distribution maps. The mechanistic and empirical approaches presented in this work have the potential to be applied to root data generated in various experimental set-ups. Root diameters and genotypic information can also be incorporated in the model. The potential of the density-based models presented here can be further investigated in future by validating them on experimental data from roots growing in three-dimensional space. In addition, the efficiency of the models could be enhanced by a) employing new methods for discretisation of the partial differential equations (e.g. the travelling wavelet method), b) implementing time- and space-dependence of model parameters and c) imposing constraints on the cost function regarding the distribution of root diameters. In general, the upscaling of high throughput phenotyping facilities and the improvement of in vivo and in silico experimentation will play a pivotal role in improving the models in plant phenomics and therefore expanding the capacity of crops through efficient crop management strategies in the realm of sustainable agriculture.	en
heal.advisorName	Δούκα, Ευανθία	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	49 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false