Αλγόριθμοι Προσέγγισης για την Δυναμική εκδοχή του Προβλήματος Min-Sum Set Cover.

Κωστοπαναγιωτης, Παναγιώτης

dc.contributor.author	Κωστοπαναγιωτης, Παναγιώτης
dc.date.accessioned	2022-01-31T08:07:33Z
dc.date.available	2022-01-31T08:07:33Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/54478
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.22176
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/gr/	*
dc.subject	Αλγόριθμοι	el
dc.subject	Δυναμικοί Αλγόριθμοι	el
dc.subject	Αλγόριθμοι Προσέγγισης	el
dc.subject	Συνδυαστική Βελτιστοποίηση	el
dc.subject	Αναγωγές	el
dc.subject	Algorithms	en
dc.subject	Dynamic Algorithms	el
dc.subject	Online Algorithms	el
dc.subject	Approximation Algorithms	el
dc.subject	Combinatorial Optimization	el
dc.title	Αλγόριθμοι Προσέγγισης για την Δυναμική εκδοχή του Προβλήματος Min-Sum Set Cover.	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Πληροφορική	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-07-16
heal.abstract	Στην παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζουμε το πρόβλημα δυναμικής κάλυψης συνόλου ελάχιστου αθροίσματος ($\DSSC$) μια φυσιολογική και ενδιαφέρουσα γενίκευση του κλασικού προβλήματος ανανέωσης λίστας. Στο πρόβλημα $\DSSC$ πρέπει να διατηρήσουμε μια ακολουθία μεταθέσεων $(\pi^0, \pi^1, \ldots, \pi^T)$ n τω πλήθος στοιχείων βάσει μιας ακολουθίας συνόλων κάλυψης $\cR = (R^1, \ldots, R^T)$. Στόχος μας είναι να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος ανανέωσης απ' την μετάθεση $\pi^{t-1}$ στην $\pi^{t}$, το οποίο ποσοτικοποιείται με την απόσταση Kendall Tau $\dkt(\pi^{t-1}, \pi^t)$, συν το συνολικό κόστος κάλυψης κάθε αιτήματος $R^t$ με την παρούσα μετάθεση $\pi^t$ που είναι στην ουσία η θέση του πρώτου στοιχείου του συνόλου $R^t$ στην μετάθεση $\pi^t$. \\ \noindent Ξεκινάμε με μια ιστορική αναδρομή του προβλήματος παρουσιάζοντας τις διάφορες εκδοχές του προβλήματος που έχουν παρουσιαστεί στην βιβλιογραφία και τους αλγορίθμος που χρησιμοποιούνται για τον σχεδιασμό αλγορίθμων για την κάθε εκδοχή. Η παρουσίαση αυτών των τεχνικών είναι πολύ σημαντική καθώς κτίζουν μια καλή διαίσθηση για το πρόβλημα και επιπλέον βοηθάνε στην κατανόηση των αποτελεσμάτων της offline Dynamic εκδοχής με την οποία και ασχολούμαστε. \\ \noindent Σε επόμενη φάση, συνεχίζουμε με μια ιστορική αναδρομή καθώς και παραλλαγές του προβλήματος. Ξεκινάμε με το πρόβλημα ανανέωσης λίστας(List-Update) και εξηγούμε πως χρησιμοποιώντας την μέθοδο δυναμικού που περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με παράγοντα προσέγγισης 2. Επιπλέον, παρουσιάζουμε μια γενικότερη οικογένεια προβλημάτων που εξελίσσονται στον χρόνο και εξηγούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε Rounding γραμμικών προγραμμάτων προκειμένου να λάβουμε ακριβείς ή και προσεγγιστικές λύσεις για ορισμένα προβλήματα. Χρησιμοποιούμε το πρόβλημα Facility Reallocation on the Real Line για την παρουσίαση αυτής της τεχνικής. \\ \noindent Στην τελευταία ενότητα παρουσιάζουμε τα αποτελέσματά μας για το πρόβλημα $\DSSC$. Ανάγοντας απ' το κλασικό πρόβλημα Κάλυψης Συνόλου(Set Cover), δείχνουμε αρχικά ότι το $\DSSC$ δεν μπορεί να προσεγγιστεί με παράγοντα προσέγγισης $O(1)$ εκτός και αν $\mathrm{P} = \mathrm{NP}$ καθώς και ότι οποιοσδήποτε αλγόριθμος με παράγοντα προσέγγισης $o( \log n)$ (αντίστοιχα $O(r)$) για το $\DSSC$ θα έδινε υπολογαριθμικό παράγοντα προσέγγισης για το Set Cover (ή $ο(r)$ αντίστοιχα αν θεωρήσουμε την εκδοχή όπου κάθε στοιχείο εμφανίζεται το πολύ $r$ φορές στα σύνολα κάλυψης). Η βασική μας συνεισφορά έγκειται στο οτι δείχνουμε πως το πρόβλημα $\DSSC$ μπορεί να προσεγγιστεί σε πολυωνυμικό χρόνο με παράγοντα $O( \log^2 n )$ στην γενική περίπτωση με randomized rounding και με παράγοντα $O(r^2)$, αν όλα τα σύνολα αιτημάτων κάλυψης έχουν πληθικότητα το πολύ $r$, με deterministic rounding.	el
heal.advisorName	Φωτάκης, Δημήτριος
heal.committeeMemberName	Φωτάκης, Δημήτριος
heal.committeeMemberName	Παπασπύρου, Νικόλαος
heal.committeeMemberName	Παγουρτζης, Αριστείδης
heal.academicPublisher	Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	73
heal.fullTextAvailability	false