Improved algorithms for subset sum problems

Βασιλάκης, Εμμανουήλ; Vasilakis, Emmanouil

dc.contributor.author	Βασιλάκης, Εμμανουήλ
dc.contributor.author	Vasilakis, Emmanouil
dc.date.accessioned	2022-02-23T06:57:14Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/54799
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.22497
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/gr/	*
dc.subject	γρήγορος μετασχηματισμός fourier	el
dc.subject	άθροισμα υποσυνόλου	el
dc.subject	αλγόριθμοι ψευδοπολυωνυμικού χρόνου	el
dc.subject	ίσο άθροισμα υποσυνόλων	el
dc.subject	k-άθροισμα υποσυνόλων	el
dc.subject	subset sum	en
dc.subject	equal subset sum	en
dc.subject	k-subset sum	en
dc.subject	fast fourier transform	en
dc.subject	color-coding	en
dc.title	Improved algorithms for subset sum problems	en
dc.title	Βελτιωμένοι αλγόριθμοι για προβλήματα αθροίσματος υποσυνόλων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα	el
heal.classification	Algorithms and Complexity	en
heal.dateAvailable	2023-02-22T22:00:00Z
heal.language	el
heal.language	en
heal.access	embargo
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-06-03
heal.abstract	Στην παρούσα διπλωματική εργασία, παρουσιάζουμε τέσσερις αλγορίθμους ψευδοπολυωνυμι- κού χρόνου για το πρόβλημα EQUAL SUBSET SUM, οριζόμενο ως εξής: δεδομένου ενός συνόλου θετικών ακεραίων Z πληθυκότητας n, να προσδιοριστεί εάν υπάρχουν δύο ξένα υποσύνολα του Z, τα στοιχεία των οποίων αθροίζουν στην ίδια τιμή. Υποθέτοντας επιπλέον ότι μας παρέχεται και ένα άνω όριο t > 0 όσον αφορά το άθροισμα των δύο υποσυνόλων, μία κλασσική προ- σέγγιση κάνοντας χρήση δυναμικού προγραμματισμού μπορεί να λύσει το πρόβλημα σε χρόνο O(nt). Αξιοποιούμε την πρόσφατη πρόοδο σε σχέση με το πρόβλημα SUBSET SUM εξαιτίας των Koiliaris και Xu [Koil19] αλλά και του Bringmann [Brin17] με στόχο να σχεδιάσουμε γρη- γορότερους αλγορίθμους για το πρόβλημα EQUAL SUBSET SUM, και πιο συγκεκριμένα για την εκδοχή αναζήτησης, όπου ζητούμενο είναι επιπλέον και η ανακατασκευή των συνόλων της λύσης. Αναπτύσσουμε τρεις αλγορίθμους που βασίζονται σε αυτήν την πρόοδο: έναν τυχαιοκρατικό χρονικής πολυπλοκότητας Õ(n + t), έναν ντετερμινιστικό με χρονική πολυπλοκότητα Õ(σ) και έναν ντετερμινιστικό χρονικής πολυπλοκότητας Õ( nt), όπου με σ συμβολίζουμε το συνολικό άθροισμα των στοιχείων του συνόλου εισόδου. Επιπλέον, αναπτύσσουμε έναν απλό και αποδο- τικό ντετερμινιστικό αλγόριθμο χρονικής πολυπλοκότητας Õ(n + t), που όμως δεν φαίνεται να μπορεί να επεκταθεί σε πιο γενικά προβλήματα. Εμπνεόμενοι από αυτές τις επεκτάσεις, επεκτείνουμε περαιτέρω τις τεχνικές μας με σκοπό να αντιμετωπίσουμε μία πιο γενική παραλλαγή του προβλήματος EQUAL SUBSET SUM, που ονομάζεται k-SUBSET SUM, όπου αναζητούμε εάν υπάρχουν k ξένα υποσύνολα του συνόλου της εισόδου, τα στοιχεία του καθενός εκ των οποίων αθροίζουν σε μία συγκεκριμένη δοθείσα τιμή t i αντίστοιχα. Προτείνουμε δύο αλγορίθμους για την εκδοχή απόφασης του προβλήμα- τος k-SUBSET SUM: έναν τυχαιοκρατικό, χρόνου Õ(n + t k ) και έναν ντετερμινιστικό, χρόνου Õ(n k/k+1 t k ) αντίστοιχα. Τέλος, δείχνουμε πώς αυτοί οι αλγόριθμοι μπορούν να χρησιμοποιη- θούν για την επίλυση των εκδοχών απόφασης διαφόρων παρεμφερών προβλημάτων, όπως λόγου χάρη τα προβλήματα SUBSET SUM RATiO, k-SUBSET SUM RATiO και MULTiPLE SUBSET SUM.	el
heal.abstract	In this diploma dissertation, we present four pseudopolynomial time algorithms for the EQUAL SUBSET SUM problem, defined as follows: given a set Z of n positive integers, de- termine whether there exist two disjoint subsets of Z, the elements of which sum up to the same value. Assuming a given upper bound t > 0 on the sum of the two subsets, a standard dynamic programming approach can solve the problem in O(nt) time. We build on recent advances on SUBSET SUM due to Koiliaris and Xu [Koil19] and Bringmann [Brin17] in order to provide faster algorithms for EQUAL SUBSET SUM, and in particular for its search version, where a reconstruction of the solution sets is also sought. We devise three algorithms based on those advances: a randomised one of time complexity Õ(n + t), a deterministic one of Õ(σ) complexity and a deterministic Õ( nt) time one, where σ is the total sum of the ele- ments of the input set. Additionally, we present a simple and efficient Õ(n + t) deterministic algorithm, which however does not seem to be able to be extended to more general problems. Inspired by these extensions, we further extend our techniques in order to cope with a more general variation of EQUAL SUBSET SUM, called k-SUBSET SUM, which asks for k disjoint subsets, whose elements sum up to a certain given value t i respectively. We propose two al- gorithms for the decision version of k-SUBSET SUM: one running in randomised Õ(n+t k ) time and a deterministic Õ(n k/k+1 t k ) time respectively. We further demonstrate how these algo- rithms can be used to solve the decision versions of closely related variations of k-SUBSET SUM, namely SUBSET SUM RATiO, k-SUBSET SUM RATiO and MULTiPLE SUBSET SUM.	en
heal.advisorName	Pagourtzis, Aris
heal.committeeMemberName	Pagourtzis, Aris
heal.committeeMemberName	Fotakis, Dimitris
heal.committeeMemberName	Μαρκάκης, Ευάγγελος
heal.academicPublisher	Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	false