Μοντελοποίηση της διεργασίας κρυστάλλωσης: Αριθμητική επιλύση με τη μέθοδο των ροπών και της μέγιστης εντροπίας

Γεράσιμος, Κυπριανού; Gerasimos, Kyprianou

dc.contributor.author	Γεράσιμος, Κυπριανού	el
dc.contributor.author	Gerasimos, Kyprianou	en
dc.date.accessioned	2022-03-13T12:22:10Z
dc.date.available	2022-03-13T12:22:10Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/54958
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.22656
dc.rights	Default License
dc.subject	Κρυστάλλωση	el
dc.subject	Ισοζύγια πληθυσμών	el
dc.subject	Στατιστικές ροπές	el
dc.subject	Μέγιστη εντροπία	el
dc.subject	Βελτιστοποίηση	el
dc.title	Μοντελοποίηση της διεργασίας κρυστάλλωσης: Αριθμητική επιλύση με τη μέθοδο των ροπών και της μέγιστης εντροπίας	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-10-05
heal.abstract	Κρυστάλλωση είναι ο σχηματισμός στερεών σωματιδίων ή αλλιώς κρυστάλλων, μέσα σε μια ομογενή φάση. Αποτελεί μία σύνθετη διεργασία κατά την οποία ενεργούν αλληλοεξαρτώμενοι μηχανισμοί. Βασικό πλεονέκτημα της κρυστάλλωσης ως διεργασία είναι πως οι παράμετροι που την διέπουν καθώς και οι συνθήκες λειτουργίας μπορούν να διαφοροποιηθούν σημαντικά με στόχο τα τελικά προϊόντα να διαθέτουν τις εκάστοτε επιθυμητές ιδιότητες. Οι εφαρμογές της αφορούν πολλούς τομείς όπως την παραγωγή φαρμάκων, τροφίμων και λιπασμάτων. Συγκεκριμένα στον τομέα της φαρμακευτικής, μπορεί να θεωρηθεί ως η πιο σημαντική διεργασία. Επομένως, καίριο ζήτημα καθίσταται η ορθή μοντελοποίηση και προσομοίωση του φαινομένου. Βασική θεώρηση για την μαθηματική έκφραση της κρυστάλλωσης αποτελεί το ισοζύγιο πληθυσμού. Κύριο χαρακτηριστικό των ισοζυγίων είναι η κατανομή των κρυστάλλων. Μέσα από τα ισοζύγια μπορούν να περιγραφούν με διαφορικές εξισώσεις οι επιμέρους μηχανισμοί της κρυστάλλωσης. Η αριθμητική επίλυση αυτών των μοντέλων συχνά συναντά σοβαρές δυσκολίες και αναζητώνται εναλλακτικοί τρόποι επίλυσης. Στη συγκεκριμένη εργασία αλλά και σε πολλές άλλες μελέτες εφαρμόζεται η μέθοδος των στατιστικών ροπών, η οποία μετατρέπει τα αρχικά ισοζύγια των κρυστάλλων σε απλούστερες εκφράσεις που περιγράφουν τη δυναμική εξέλιξη των ροπών των κρυσταλλικών κατανομών. Συγκεκριμένα, τα ισοζύγια πληθυσμών που εκφράζονται ως μερικές διαφορικές ολοκληρωτικές εξισώσεις, μετατρέπονται σε συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων για τις ροπές. Στη γενική τους διατύπωση, οι συνήθεις αυτές διαφορικές εξισώσεις απαιτούν για την επίλυσή τους και την κρυσταλλική κατανομή. Για την αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας εφαρμόζονται μέθοδοι ανακατασκευής της κρυσταλλικής κατανομής με δεδομένα τις ροπές της και συγκεκριμένα, μέθοδοι όπως η QMOM(Quadrature Method of Moments), αλλά και η EMOM (Extended Method of Moments). Στη συγκεκριμένη εργασία εξετάζεται ένα στατιστικό μοντέλο, η μέθοδος της μέγιστης εντροπίας. Η μέθοδος θεωρεί ότι οι πιο πιθανές κατανομές που περιγράφουν το σύστημα μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι αυτές που μεγιστοποιούν την εντροπία της πληροφορίας. Για την περιγραφή των κατανομών αυτών εισάγονται οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Το πρόβλημα μετατρέπεται, λοιπόν, σε πρόβλημα βελτιστοποίησης εύρεσης των πολλαπλασιαστών, χρησιμοποιώντας ως δεδομένα τις ροπές και τα όρια ολοκλήρωσης. Τα βασικά ευρήματα της παρούσας διπλωματικής συνοψίζονται στην επιτυχή χρήση της μεθόδου για την επίλυση των εξισώσεων, ανακατασκευή των κατανομών αλλά και την χρήση της για εύρεση άγνωστων παραμέτρων. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων της μεθόδου έγινε με αναλυτικές λύσεις, αλλά και λύσεις από το PBE μέσω του Comsol. Κύριο πρόβλημα της μεθόδου είναι όταν οι τιμές των ροπών ή του χαρακτηριστικού μεγέθους είναι μεγάλες επιδρώντας αρνητικά στο ρυθμό σύγκλισης της μεθόδου για την εύρεση των πολλαπλασιαστών Lagrange.	el
heal.abstract	Crystallization constitutes the formation of solid particles, or crystals, in a homogeneous phase. It is a complex process in which interdependent mechanisms operate. The main advantage of crystallization as a process is that the parameters that govern it as well as the operating conditions can be modified in order for the final products to have the desired properties. Its applications concern many sectors such as the production of medicines, food and fertilizers. Specifically in the field of pharmacy, it can be considered as the most important process. Therefore, the correct modeling and simulation of the phenomenon becomes a key issue. The core factor of the mathematical expression of crystallization is the population balance. The main feature of the balances is the size distribution of the crystals. The individual mechanisms of crystallization can be incorporated in population balance equations which are formulated as partial integro-differential equations. In this thesis and in many other studies the method of statistical moments was implemented, to simplify the equations, as well as providing a faster and less complex solution that will allow an efficient adaptation to experimental data. The moments are directly related to both the distribution and the physical characteristics of the crystals. In this way the population balances expressed as partial integro-differential equations are transformed into systems of ordinary differential equations for the moments of the particle distribution. However, in the general case the evolution of moments requires the knowledge of the particle distribution. This problem has led many researchers to find ways to overcome it. A fairly common method is QMOM (Quadrature Method of Moments), but also EMOM (Extended Method of Moments). This diploma thesis examines a statistical model, the method of maximum entropy. The method considers that the most probable distributions that describe the system at a given time are those that maximize the entropy of the information. The problem of computing such distributions boils down to the computation of Lagrange multipliers. The issue in hand therefore turns into optimizing the multiplier’s values, using for input moments and the limits of integration. The main findings of this thesis are summarized in the successful use of the method for solving equations, reconstruction of distributions and its use to find unknown parameters. The results compared with analytical solutions, but also solutions from PBE through Comsol. The main problem of the method is when the values of the moments or the characteristic length are large negatively affecting the converge rate of the method for finding the Lagrange multipliers.	en
heal.advisorName	Καβουσανάκης, Μιχάλης	el
heal.committeeMemberName	Στεφανίδης, Γεώργιος	el
heal.committeeMemberName	Τζιά, Κωνσταντίνα	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Χημικών Μηχανικών. Τομέας Ανάλυσης, Σχεδιασμού και Ανάπτυξης Διεργασιών και Συστημάτων (ΙΙ)	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	69 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false