Πεπερασμένο στοιχείο δοκού με βάση τη θεωρία ελαστικότητας ανωτέρας βαθμίδας

Abstract

Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία πραγματεύεται τη διατύπωση ενός πεπερασμένου στοιχείου δοκού σύμφωνα με τη γραμμική θεωρία ελαστικότητας ανωτέρας βαθμίδας (Linear Gradient Elasticity). Η εν λόγω θεωρία εισάγει παραμέτρους εσωτερικού μήκους στις καταστατικές σχέσεις του συνεχούς μέσου. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη αναφορά στην ανάγκη εισαγωγής παραμέτρων μικροδομής στα προσομοιώματα συνεχούς μέσου, στις πρακτικές εφαρμογές της εν λόγω θεωρίας, καθώς και μια ιστορική αναδρομή στα στάδια της εξέλιξής της. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια απλοποιημένη εκδοχή της θεωρίας των αδελφών Cosserat, η οποία υπήρξε η πρώτη θεωρία ανωτέρας βαθμίδας στην ιστορία. Το κεφάλαιο αυτό έχει κυρίως εισαγωγικό χαρακτήρα και αποσκοπεί στην εξοικείωση του μη σχετικού με τις εν λόγω θεωρίες, αναγνώστη. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η γενική θεωρία ελαστικότητας με μικροδομή, του Mindlin. Η θεωρία που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο αποτελεί τη βάση των απλούστερων θεωριών που παρουσιάζονται στα επόμενα κεφάλαια. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύονται οι τρεις απλοποιημένες διατυπώσεις της γενικής θεωρίας του Mindlin. Παρουσιάζεται επίσης το προσομοίωμα γραμμικής ελαστικότητας με μικροδομή, των Vardoulakis&Sulem το οποίο μπορεί να θεωρηθεί υποπερίπτωση του απλοποιημένου προσομοιώματος του Mindlin. Το προσομοίωμα αυτό εισάγει δύο επιπλέον παραμέτρους εσωτερικού μήκους και είναι αυτό που χρησιμοποιείται στις αριθμητικές εφαρμογές της παρούσας εργασίας. Γίνεται επίσης αναφορά σε άλλα σημαντικά προσομοιώματα βαθμίδας που προέκυψαν με διαδικασία διαφορετική από τη θεωρία του Mindlin. Στο πέμπτο κεφάλαιο διατυπώνονται δύο νέα πεπερασμένα στοιχεία με βάση το προσομοίωμα των Vardoulakis&Sulem. Το πρώτο στοιχείο αντιστοιχεί στο πρόβλημα του μονοαξονικού εφελκυσμού ή της απλής διάτμησης πρισματικής ράβδου. Το δεύτερο προσομοίωμα αντιστοιχεί στην κάμψη δοκού κατά Euler-Bernoulli. Τα δύο στοιχεία επαλληλίζονται για να αποτελέσουν ένα ενιαίο πεπερασμένο στοιχείο δοκού που αναλαμβάνει σε κάθε κόμβο αξονική δύναμη, διάτμηση, ροπή κάμψης, αυτοϊσορροπούμενο ζεύγος ροπών κάμψης και αυτοϊσορροπούμενο ζεύγος αξονικών δυνάμεων. Στο έκτο κεφάλαιο εκτελούνται αριθμητικές εφαρμογές με τη χρήση των στοιχείων που αναπτύχθηκαν στο πέμπτο κεφάλαιο. Η πρώτη κατηγορία εφαρμογών αφορά την κάμψη αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο, ενώ η δεύτερη αφορά την απόκριση μονοδιάστατου σχηματισμού, λόγω σεισμικής διέγερσης στη βάση του. Παρουσιάζονται αποτελέσματα με τη μορφή διαγραμμάτων, τα οποία στη συνέχεια αξιολογούνται. Στο έβδομο κεφάλαιο διατυπώνονται γενικά συμπεράσματα και σκέψεις για μελλοντική έρευνα στο παρόν αντικείμενο.

The present diploma thesis deals with Linear Gradient Elasticity Theory, through the formulation of a beam element, based on this theory. This theory is connected with the introduction of internal length scales to the constitutive equations of the continuum. The first chapter serves as a brief reference to the need of the use of gradient theories and their most common practical applications. An overview of the most important stages of the evolution of the theory is also presented. In the second chapter a simplified version of the Cosserat theory (which was the first gradient theory in history) is presented. This chapter is merely an introduction to the more general and complicated theories that are discussed in the next chapters. In the third chapter the general theory of Microstructure in Linear Elasticity, by Mindlin, is presented in detail. The equations that are produced in this chapter are the basis of the much simpler equations that are presented in the next chapters. In the fourth chapter, three simplified versions suggested by Mindlin are presented. The linear model of Vardoulakis&Sulem that is discussed in detail, can be seen as a simple case of the second of the simplified versions. This model introduces two new internal length parameters, and is the one used in the numerical implementations of the present thesis. In the fifth chapter two new finite elements are proposed. The first is a truss-shear rod element and the second is an Euler-Bernoulli beam element. Both make use of the Vardoulakis&Sulem model. These two elements can be unified, in order to shape a beam element that can bear in each node: an axial force, a shear force, a bending moment, a double axial force and a double bending moment. In the sixth chapter practical applications that make use of the new beam element, are proposed. The first category of applications deals with the behavior of a simply supported beam under uniformly distributed vertical load. The second category deals with the propagation of seismic shear wave through a horizontal soil layer. The results that are presented through the use of diagrams, are discussed in detail. The results of the current thesis are summarized in the seventh chapter. Thoughts on further research in the field of Gradient Elasticity are also expressed.