Μεταβολή φάσης με χρήση στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων

Καπνουλλά, Γεωργία; Kapnoulla, Georgia

dc.contributor.author	Καπνουλλά, Γεωργία	el
dc.contributor.author	Kapnoulla, Georgia	en
dc.date.accessioned	2022-07-26T10:50:37Z
dc.date.available	2022-07-26T10:50:37Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/55506
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.23204
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Ολοκλήρωμα Bochner	el
dc.subject	Εξελικτικά προβλήματα	el
dc.subject	Evolution Triplets	en
dc.subject	Martingales	en
dc.subject	Hilbert spaces	en
dc.subject	Itô stochastic integral	en
dc.subject	Brown motion	en
dc.subject	Ασθενείς και ισχυρές λύσεις	el
dc.subject	Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης	el
dc.subject	Μονότονοι τελεστές	el
dc.title	Μεταβολή φάσης με χρήση στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.secondaryTitle	Phase Transition using Stochastic Differential Equations	en
heal.classification	Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2022-02-25
heal.abstract	Σε αυτή τη διπλωματική εργασία μελετάμε τη θεωρητική θεμελίωση των μεθόδων επίλυσης εξισώσεων παραβολικού τύπου (ντετερμινιστικών και στοχαστικών). Τέτοιες εξισώσεις εμφανίζονται σε πλήθος φυσικά φαινόμενα στην φυσική και την βιολογία. Στην πιο απλή μορφή του προβλήματος η εξίσωση είναι (∂u )/(∂t ) = ∆u + f(u). Ο μη-τοπικός (nonlocal) όρος f είναι μη γραμμικός και ονομάζεται ανάδραση. Στη μελέτη εξελικτικών φαινομένων πολύ συχνά είναι βολικό να προσθέσουμε και έναν παράγοντα τυχαιότητας στην εξίσωση, τόσο ως προς τον χρόνο όσο και ως προς τον χώρο. Η σύγχρονη αντιμετώπιση τέτοιων τυχαιοτήτων υλοποιείται μέσω στοχαστικών ανελίξεων που είναι γενίκευση των τυχαίων περιπάτων. Πρόκειται για αυτό που ονομάζεται “λευκός θόρυβος” και ουσιαστικά πρόκειται για τον ρυθμό μεταβολής ενός τυχαίου περιπάτου. (∂u )/(∂t ) = ∆u + f(u) + (dWt )/dt. Εργαλεία που εξασφαλίζουν ύπαρξη λύσεων σε τέτοιες εξισώσεις μπορεί να τα βρει κανείς πίσω από τα θεωρήματα σταθερού σημείου του Banach, του Schauder, και τη θεωρία βαθμίδος Leray-Schauder. Πολλές φορές τέτοιες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν ως το διαφορικό μίας συνάρτησης ενέργειας, οπότε και η λύση της εξίσωσης ισοδυναμεί με εύρεση ακροτάτων ενός συναρτησιακού. Η θεωρία μονότονων τελεστών, γενίκευση της ιδέας των μονότονων συναρτήσεων στους πραγματικούς, συνεισφέρει έμμεσα ή άμεσα στην ύπαρξη λύσης. Τέλος, η συμπάγεια των φραγμένων συνόλων σε κατάλληλους χώρους μπορεί να εξασφαλίσει κατάλληλα σημεία που αποτελούν λύση του συστήματος. Η μέθοδος Galerkin, σύμφωνα με την οποία παράγεται μια ακολουθία από λύσεις μικρότερων προβλημάτων, που ελπίζουμε να συγκλίνουν σε μια λύση σε συνδυασμό με την μονοτονία χρησιμοποιήθηκε ευρέως από τον Lions (1969). Σημαντικό βήμα στην επίλυση των παραβολικών εξισώσεων, έπαιξε η θεμελίωση των εξελικτικών τριάδων από τους Gelfand-Shilov (1964). Η παρεμβολή μέσω της ανισότητας του Ehrling εξασφαλίζει με καίριο τρόπο την συμπαγή ενσφήνωση των κατάλληλων χώρων που θα τοποθετηθεί το πρόβλημα. Πρόσθετες δυσκολίες προκύπτουν όταν χρειαστεί να μελετηθεί η στοχαστική έκδοση του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, η ευχάριστη συμπαγής ενσφήνωση χάνεται και χρειάζονται περεταίρω φράγματα για την εξασφάλιση συγκλινουσών υπακολουθιών. Ακόμα χρειάζεται τροποποίηση της μεθόδου Galerkin για να μη χαθούν τα ομοιόμορφα εκ των προτέρων φράγματα (a priori bounds). Ο Συγγραφέας της θέσης της διδακτορικής διατριβής που μελετάμε, σπάει το παραβολικό πρόβλημα σε δύο υποπροβλήματα: Ένα γνήσια στοχαστικό dΧ/( dt) = ∆X + dW/( dt) και με αλλαγή μεταβλητών μετατρέπει το αρχικό πρόβλημα σε μία ομάδα παραμετρικών προβλημάτων ως προς ω ∈ Ω τα οποία λύνει με κλασσικές μεθόδους.	el
heal.advisorName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος	el
heal.committeeMemberName	Δούκα, Ευανθία	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	88 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false