dc.contributor.author | Καπνουλλά, Γεωργία![]() |
el |
dc.contributor.author | Kapnoulla, Georgia![]() |
en |
dc.date.accessioned | 2022-07-26T10:50:37Z | |
dc.date.available | 2022-07-26T10:50:37Z | |
dc.identifier.uri | https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/55506 | |
dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.23204 | |
dc.rights | Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα | * |
dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/ | * |
dc.subject | Ολοκλήρωμα Bochner | el |
dc.subject | Εξελικτικά προβλήματα | el |
dc.subject | Evolution Triplets | en |
dc.subject | Martingales | en |
dc.subject | Hilbert spaces | en |
dc.subject | Itô stochastic integral | en |
dc.subject | Brown motion | en |
dc.subject | Ασθενείς και ισχυρές λύσεις | el |
dc.subject | Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης | el |
dc.subject | Μονότονοι τελεστές | el |
dc.title | Μεταβολή φάσης με χρήση στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων | el |
heal.type | bachelorThesis | |
heal.secondaryTitle | Phase Transition using Stochastic Differential Equations | en |
heal.classification | Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις | el |
heal.language | el | |
heal.access | free | |
heal.recordProvider | ntua | el |
heal.publicationDate | 2022-02-25 | |
heal.abstract | Σε αυτή τη διπλωματική εργασία μελετάμε τη θεωρητική θεμελίωση των μεθόδων επίλυσης εξισώσεων παραβολικού τύπου (ντετερμινιστικών και στοχαστικών). Τέτοιες εξισώσεις εμφανίζονται σε πλήθος φυσικά φαινόμενα στην φυσική και την βιολογία. Στην πιο απλή μορφή του προβλήματος η εξίσωση είναι (∂u )/(∂t ) = ∆u + f(u). Ο μη-τοπικός (nonlocal) όρος f είναι μη γραμμικός και ονομάζεται ανάδραση. Στη μελέτη εξελικτικών φαινομένων πολύ συχνά είναι βολικό να προσθέσουμε και έναν παράγοντα τυχαιότητας στην εξίσωση, τόσο ως προς τον χρόνο όσο και ως προς τον χώρο. Η σύγχρονη αντιμετώπιση τέτοιων τυχαιοτήτων υλοποιείται μέσω στοχαστικών ανελίξεων που είναι γενίκευση των τυχαίων περιπάτων. Πρόκειται για αυτό που ονομάζεται “λευκός θόρυβος” και ουσιαστικά πρόκειται για τον ρυθμό μεταβολής ενός τυχαίου περιπάτου. (∂u )/(∂t ) = ∆u + f(u) + (dWt )/dt. Εργαλεία που εξασφαλίζουν ύπαρξη λύσεων σε τέτοιες εξισώσεις μπορεί να τα βρει κανείς πίσω από τα θεωρήματα σταθερού σημείου του Banach, του Schauder, και τη θεωρία βαθμίδος Leray-Schauder. Πολλές φορές τέτοιες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν ως το διαφορικό μίας συνάρτησης ενέργειας, οπότε και η λύση της εξίσωσης ισοδυναμεί με εύρεση ακροτάτων ενός συναρτησιακού. Η θεωρία μονότονων τελεστών, γενίκευση της ιδέας των μονότονων συναρτήσεων στους πραγματικούς, συνεισφέρει έμμεσα ή άμεσα στην ύπαρξη λύσης. Τέλος, η συμπάγεια των φραγμένων συνόλων σε κατάλληλους χώρους μπορεί να εξασφαλίσει κατάλληλα σημεία που αποτελούν λύση του συστήματος. Η μέθοδος Galerkin, σύμφωνα με την οποία παράγεται μια ακολουθία από λύσεις μικρότερων προβλημάτων, που ελπίζουμε να συγκλίνουν σε μια λύση σε συνδυασμό με την μονοτονία χρησιμοποιήθηκε ευρέως από τον Lions (1969). Σημαντικό βήμα στην επίλυση των παραβολικών εξισώσεων, έπαιξε η θεμελίωση των εξελικτικών τριάδων από τους Gelfand-Shilov (1964). Η παρεμβολή μέσω της ανισότητας του Ehrling εξασφαλίζει με καίριο τρόπο την συμπαγή ενσφήνωση των κατάλληλων χώρων που θα τοποθετηθεί το πρόβλημα. Πρόσθετες δυσκολίες προκύπτουν όταν χρειαστεί να μελετηθεί η στοχαστική έκδοση του προβλήματος. Σε αυτή την περίπτωση, η ευχάριστη συμπαγής ενσφήνωση χάνεται και χρειάζονται περεταίρω φράγματα για την εξασφάλιση συγκλινουσών υπακολουθιών. Ακόμα χρειάζεται τροποποίηση της μεθόδου Galerkin για να μη χαθούν τα ομοιόμορφα εκ των προτέρων φράγματα (a priori bounds). Ο Συγγραφέας της θέσης της διδακτορικής διατριβής που μελετάμε, σπάει το παραβολικό πρόβλημα σε δύο υποπροβλήματα: Ένα γνήσια στοχαστικό dΧ/( dt) = ∆X + dW/( dt) και με αλλαγή μεταβλητών μετατρέπει το αρχικό πρόβλημα σε μία ομάδα παραμετρικών προβλημάτων ως προς ω ∈ Ω τα οποία λύνει με κλασσικές μεθόδους. | el |
heal.advisorName | Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος | el |
heal.committeeMemberName | Δούκα, Ευανθία | el |
heal.committeeMemberName | Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος | el |
heal.academicPublisher | Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών | el |
heal.academicPublisherID | ntua | |
heal.numberOfPages | 88 σ. | el |
heal.fullTextAvailability | false |
Οι παρακάτω άδειες σχετίζονται με αυτό το τεκμήριο: