Γραμμικοί τελεστές σε χώρους Hilbert και εφαρμογές

Abstract

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η μελέτη των γραμμικών τελεστών σε έναν διανυσματικό χώρο με νόρμα που χρησιμοποιούνται ευρέως για να αντιπροσωπεύσουν φυσικές ποσότητες. Ως εκ τούτου η σημασία τους ενισχύεται ακόμη περισσότερο στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική φυσική. Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι η μελέτη διαφόρων ειδών γραμμικών τελεστών σε χώρους Hilbert και των βασικών ιδιοτήτων τους. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη των φραγμένων γραμμικών τελεστών. Αρχικά δίνεται προσοχή στα διγραμμικά συναρτησιακά και στις τετραγωνικές μορφές, ακόμη αποδεικνύεται το θεώρημα Lax-Milgram. Αυτό το θεώρημα είναι μια σημαντική γενίκευση του Θεωρήματος Riesz. Σημαντικές κατηγορίες των φραγμένων γραμμικών τελεστών σε χώρους Hilbert είναι οι λεγόμενοι συζυγείς και αυτοσυζυγείς τελεστές που εξετάζονται στη Τρίτη παράγραφο. Απο την τέταρτη έως την έβδομη παράγραφο παρουσιάζουμε ειδικούς γραμμικούς τελεστές , όπως αντιστρέψιμους, κανονικούς , ισομετρία, ορθομοναδιαίους, θετικούς , συμπαγείς, και τελεστές προβολή . Στην όγδοη παράγραφο, θεωρούμε ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα γραμμικών τελεστών. Οι έννοιες αυτές διαδραματίζουν κεντρικό ρόλο στη θεωρία των γραμμικών τελεστών και των εφαρμογών τους, όπου η φασματική ανάλυση των τελεστών είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία. Το φασματικό θεώρημα για τους αυτο-συζυγείς συμπαγείς τελεστές και άλλα συναφή αποτελέσματα συζητούνται στη παράγραφο ενιά. Η δέκατη παράγραφος αφιερώνεται σε έναν σημαντικό τελεστή πανω στον L2( ) : το μετασχηματισμό Fourier.Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας των μη φραγμένων τελεστών. Δίνεται ακόμη ένα παράδειγμα από το φασματικό θεώρημα για μη φραγμένους τελεστές.Στην τελευταία παράγραφο κάνουμε μια αναφορά σε τελεστές που διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο στη Κβαντομηχανική. Εκεί βλέπουμε ότι με την βοήθεια της θεωρίας των γραμμικών τελεστών ορίζεται ένα σημαντικό αξίωμα της Κβαντομηχανικής η Αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg.

The purpose of this thesis is the study of linear operators on Hilbert spaces and their basic properties .We distinguish two types of operators, bounded and unbounded operators. For each type we deal with important classes of operators,we mention basic theorems, we give many examples, and finally we write an aplication from Quantum mechanics.