Αλγόριθμοι και παίγνια χρωματισμού δικτύων

Φρυγανιώτης, Νικόλαος; Fryganiotis, Nikolaos

dc.contributor.author	Φρυγανιώτης, Νικόλαος	el
dc.contributor.author	Fryganiotis, Nikolaos	en
dc.date.accessioned	2023-01-09T11:32:10Z
dc.date.available	2023-01-09T11:32:10Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/56563
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.24261
dc.rights	Default License
dc.subject	Χρωματισμός Γραφημάτων	el
dc.subject	Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι	el
dc.subject	Παίγνια σε Γραφήματα	el
dc.subject	Συμμετρικές Στρατηγικές	el
dc.subject	Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι	el
dc.subject	Graph Coloring	en
dc.subject	Distributed Algorithms	en
dc.subject	Games on Graphs	en
dc.subject	Symmetric Strategies	en
dc.subject	Randomized Algorithms	en
dc.title	Αλγόριθμοι και παίγνια χρωματισμού δικτύων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Αλγοριθμική Θεωρία Παιγνίων	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2022-09-14
heal.abstract	Ο χρωματισμός γραφημάτων αποτελεί ένα θεμελιώδες πρόβλημα στην θεωρητική πληροφορική. Πρόκειται για ένα πρόβλημα που εμφανίζεται πολύ συχνά σε διάφορες εφαρμογές, όπως για παράδειγμα σε εφαρμογές που σχετίζονται με την ανάθεση ενός συνόλου αντικειμένων σε ένα δίκτυο. Επίσης εμφανίζει ιδιαίτερο θεωρητικό ενδιαφέρον, καθώς η εύρεση ενός χρωματισμού για ένα γράφημα, με τον ελάχιστο δυνατό αριθμό χρωμάτων, αποτελεί NP-πλήρες πρόβλημα. Έχουν προταθεί διάφοροι αλγόριθμοι εύρεσης χρωματισμού ενός γραφήματος στην βιβλιογραφία, κεντρικοί και κατανεμημένοι, κάποιοι από τους οποίους αναφέρονται στην παρούσα διπλωματική. Μελετάται το πρόβλημα χρωματισμού ενός δικτύου. Σε αυτή την εργασία ένα δίκτυο αναπαρίσταται υπό τη μορφή ενός πεπερασμένου γραφήματος $G$, του οποίου οι κόμβοι και οι ακμές είναι οι κόμβοι του δικτύου και οι μεταξύ τους συνδέσεις, αντίστοιχα, και το οποίο θα αναφέρεται ως το υποκείμενο γράφημα του δικτύου. Δίνουμε έμφαση κυρίως σε πιθανοτικούς κατανεμημένους αλγορίθμους που υπολογίζουν έναν $(\Delta + 1)$-χρωματισμό με μεγάλη πιθανότητα, για ένα γράφημα $G$ με μέγιστο βαθμό $\Delta$. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν περιπτώσεις που ο χρωματισμός ενός δικτύου έχει μοντελοποιηθεί ως παίγνιο, όπου οι παίκτες είναι οι κόμβοι του δικτύου. Το παίγνιο παίζεται σε γύρους, και σε κάθε γύρο οι παίκτες επιλέγουν ταυτόχρονα ένα χρώμα από ένα σύνολο διαθέσιμων χρωμάτων, ακολουθώντας μια συμμετρική στρατηγική. Όταν όλοι οι παίκτες χρωματιστούν κατάλληλα, αυτό αποτελεί μια ισορροπία Nash για το παίγνιο. Αναλύουμε ένα παίγνιο χρωματισμού δικτύου, που αρχικά προτάθηκε από τον Michael Kearns και άλλους. Για ένα γράφημα $G$, με $n$ κόμβους και μέγιστο βαθμό $\Delta$, έχει αποδειχθεί πως όταν οι παίκτες ακολουθούν μια συγκεκριμένη άπληστη πιθανοτική στρατηγική, το παίγνιο αυτό καταλήγει σε ένα κατάλληλο χρωματισμό για το γράφημα σε $O(\log n)$ γύρους, με μεγάλη πιθανότητα, δεδομένου ότι ο αριθμός των διαθέσιμων χρωμάτων σε κάθε παίκτη είναι τουλάχιστον $\Delta + 2$. Στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής, προτείνεται μία τροποποίηση της προαναφερθείσας άπληστης στρατηγικής, και αποδεικνύεται ότι πετυχαίνει έναν κατάλληλο χρωματισμό, δεδομένου ότι ο αριθμός των διαθέσιμων χρωμάτων σε κάθε παίκτη είναι τουλάχιστον $\Delta + 1$, και έτσι προκύπτει ένας απλός πιθανοτικός κατανεμημένος αλγόριθμος για το πρόβλημα του $(\Delta + 1)$-χρωματισμού. Ένα επίσης σημαντικό πρόβλημα αποτελεί το πρόβλημα ανάθεσης ελαχίστων συγκρούσεων, που πρόκειται για παραλλαγή του προβλήματος χρωματισμού ενός γραφήματος. Αναλύουμε ένα παιγνιοθεωρητικό μοντέλο του παραπάνω προβλήματος, το οποίο περιγράφεται μέσω ενός παιγνίου δυναμικού. Έχει αποδειχθεί πως όταν ο αριθμός των διαθέσιμων χρωμάτων είναι μεγαλύτερος από $\Delta$, όπου $\Delta$ ο μέγιστος βαθμός του υποκείμενου γραφήματος, μια ισορροπία Nash του παίγνιου δυναμικού αποτελεί μια βέλτιστη λύση του προβλήματος ανάθεσης ελαχίστων συγκρούσεων. Εξετάζουμε έναν αλγόριθμο που συγκλίνει σε μια ισορροπία Nash αμιγούς στρατηγικής. Στα πλαίσια αυτής της εργασίας διερευνούμε επίσης την περίπτωση του προβλήματος ελαχίστων συγκρούσεων που το σύνολο των διαθέσιμων χρωμάτων είναι περιορισμένο, δηλαδή ο αριθμός των διαθέσιμων χρωμάτων είναι λιγότερος ή ίσος με το μέγιστο βαθμό του υποκείμενου γραφήματος. Ορίζουμε ένα παίγνιο ελαττωματικού χρωματισμού, και αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ένας πιθανοτικός κατανεμημένος αλγόριθμος που συγκλίνει σε λογαριθμικό αριθμό γύρων σε μία ανάθεση χρωμάτων, κατά την οποία κάθε κόμβος έχει το πολύ ένα δεδομένο αριθμό συγκρούσεων. Η ανάθεση αυτή αποτελεί ισορροπία Nash για το παίγνιο.	el
heal.advisorName	Παπαβασιλείου, Συμεών	el
heal.committeeMemberName	Παπαβασιλείου, Συμεών	el
heal.committeeMemberName	Βαρβαρίγου, Θεοδώρα	el
heal.committeeMemberName	Ρουσσάκη, Ιωάννα	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής και Συστημάτων Πληροφορικής	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	95 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false