Η μη επιλυσιμότητα της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης, χωρίς Θεωρία Galois

Τσανακτσίδου, Βασιλική; Tsanaktsidou, Vasiliki

dc.contributor.author	Τσανακτσίδου, Βασιλική	el
dc.contributor.author	Tsanaktsidou, Vasiliki	en
dc.date.accessioned	2023-01-20T09:40:13Z
dc.date.available	2023-01-20T09:40:13Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/56797
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.24495
dc.rights	Default License
dc.subject	Θ.Θ.Α	el
dc.subject	F.T.A	en
dc.subject	Μιγαδικοί αριθμοί	el
dc.subject	Αριθμός περιέλιξης,	el
dc.subject	Αντιμεταθέτες	el
dc.subject	Χώροι επικάλυψης	el
dc.subject	Complex numbers	en
dc.subject	Winding number	en
dc.subject	Commutators	en
dc.subject	Covering spaces	en
dc.title	Η μη επιλυσιμότητα της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης, χωρίς Θεωρία Galois	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Mathematics	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2022-10-20
heal.abstract	Η παρούσα εργασία περιλαμβάνει τις αποδείξεις δύο πολύ σημαντικών θεωρημάτων της Αφηρημένης Άλγεβρας: του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας και της μη Επιλυσιμότητας της Πεμπτοβάθμιας εξίσωσης, χωρίς Θεωρία Galois. Στο 9ο εξάμηνο των σπουδών μου, με επιβλέπουσα την καθηγήτρια κυρία Σ.Λαμπροπούλου ανέλαβα στο πλαίσιο του μαθήματος «Θέμα» να αποδείξω το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας με την χρήση της τοπολογικής έννοιας του αριθμού περιέλιξης. Επομένως, στο 1ο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται μία ιστορική αναδρομή στα γεγονότα που οδήγησαν στην απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας. Έπειτα, δίνονται τέσσερις διαφορετικές διατυπώσεις του Θεωρήματος. Τέλος, αποδεικνύεται το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας αφού, πρώτα, έχουν δοθεί τα απαραίτητα εργαλεία για αυτήν. Στην συνέχεια, προχωρούμε στο βασικό θέμα της διπλωματικής εργασίας, δηλαδή στην μη Επιλυσιμότητα της εξίσωσης 5ου βαθμού με ριζικά. Στο 2ο κεφάλαιο της εργασίας, διατυπώνεται το Θεώρημα των Abel – Ruffini σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχει κλειστή μορφή λύσης για το πολυώνυμο 5ου βαθμού στη γενική του μορφή. Αναφέρονται, επίσης, κάποια ιστορικά στοιχεία. Συγκεκριμένα, ο Ruffini, αξιοποιώντας τις ιδέες του Lagrange, διατυπώνει το Θεώρημα για την μη επιλυσιμότητα της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης. Η πρώτη απόδειξη για το Θεώρημα Abel – Ruffini δόθηκε από τον Abel το 1824 ενώ στη συνέχεια το 1830 ο Galois εξέδωσε την πρώτη του εργασία για αυτά τα θέματα, στην οποία θέτει τα θεμέλια της σημερινής Θεωρίας Galois. Με άλλα λόγια, ούτε ο Ruffini ούτε ο Abel χρησιμοποιήσαν τις μεθόδους του Galois προκειμένου να αποδείξουν ότι ορισμένες αλγεβρικές εξισώσεις δεν επιλύονται. Επομένως, θα υπάρχει ένας πιο απλός και κατανοητός τρόπος μέσω του οποίου μπορούμε να κατανοήσουμε τον λόγο για τον οποίο η γενική πεμπτοβάθμια εξίσωση δεν επιλύεται με ριζικά. Παρόλ’ αυτά τόσο οι Abel και Ruffini όσο και ο Galois βασίστηκαν στην ίδια ιδέα: τη συμμετρία μιας αλγεβρικής εξίσωσης υπό την μετάθεση των λύσεων της. Στο 3ο κεφάλαιο παρατίθενται κάποιες γνώσεις-εργαλεία όπως οι χώροι επικάλυψης και οι αντιμεταθέτες που είναι χρήσιμα για την απόδειξη μας. Στο κεφάλαιο 4, μελετώνται οι εξισώσεις 2ου, 3ου και 4ου βαθμού ώστε να γίνει μία έμμεση σύγκριση με την περίπτωση της πεμπτοβάθμιας εξίσωσης. Έπειτα, στο επόμενο κεφάλαιο αποδεικνύεται η μη επιλυσιμότητα της εξίσωσης 5ου βαθμού χωρίς την χρήση της Θεωρίας Galois. Tέλος, συνοψίζοντας, αναφερόμαστε σε μερικά σημαντικά αποτελέσματα που προκύπτουν από την μελέτη των πολυωνυμικών εξισώσεων, όπως ότι η ομάδα S5 δεν είναι επιλύσιμη.	el
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Βασιλακοπούλου, Χριστίνα	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	63 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false