Ευθέα και αντίστροφα προβλήματα στη θεωρία σκέδασης

Στρατουράς, Κυριάκος; Stratouras, Kyriakos

dc.contributor.author	Στρατουράς, Κυριάκος	el
dc.contributor.author	Stratouras, Kyriakos	en
dc.date.accessioned	2023-01-25T08:40:33Z
dc.date.available	2023-01-25T08:40:33Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/56894
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.24592
dc.rights	Default License
dc.subject	Θεωρία Σκέδασης	el
dc.subject	Φασματικά Προβλήματα	el
dc.subject	Ιδιοτιμές διαπερατότητας	el
dc.subject	Αντίστροφα προβλήματα	el
dc.subject	Μεταϋλικό υπόβαθρο	el
dc.subject	Scattering Theory	en
dc.subject	Spectral Problems	el
dc.subject	Transmission Eigenvalues	el
dc.subject	Inverse Problems	el
dc.subject	Metamaterial Background	el
dc.title	Ευθέα και αντίστροφα προβλήματα στη θεωρία σκέδασης	el
dc.title	Direct and inverse problems in scattering theory	en
heal.type	doctoralThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.language	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2022-10-31
heal.abstract	Αυτή η διατριβή εξετάζει το ευθύ και αντίστροφο πρόβλημα για μια τροποποίηση του κλασικού προβλήματος ιδιοτιμών διαπερατότητας, η οποία προκύπτει μέσω της εισαγωγής ενός τεχνητού μεταϋιλικού υποβάθρου. Για τη μελέτη του ευθέος προβλήματος, αξιοποιούμε τη μεταβολική του διατύπωση και το θεώρημα Hilbert-Schmidt για να αποδείξουμε την διακριτότητα και ύπαρξη του φάσματος. Επιπρόσθετα, εάν ο κυματάριθμος είναι αρκούντως μικρός, συμπεραίνουμε ότι τα αντίστοιχα ζεύγη ιδιοσυναρτήσεων δεν αποτελούν πλήρες σύστημα στον χώρο λύσεων αφού δεν σχηματίζουν βάση Riesz. Ακολούθως, ορίζουμε ένα βοηθητικό φασματικό πρόβλημα το οποίο μας προμηθεύει με μια ορθοκανονική βάση, σε αντίθεση με το αρχικό πρόβλημα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τη βάση αυτή για να εφαρμόσουμε ένα φασματικό σχήμα Galerkin, το οποίο θα προσεγγίζει τις άγνωστες ιδιοτιμές. Κάτω από την προαναφερθείσα συνθήκη για τον κυματάριθμο, αποδεικνύουμε ότι το διακριτό σχήμα Galerkin συγκλίνει στις άγνωστες ιδιοτιμές. Τέλος, για την ειδική περίπτωση όπου το χωρίο είναι ο μοναδιαίος δίσκος, παρουσιάζουμε κάποια αριθμητικά αποτελέσματα από την εφαρμογή της μεθόδου τα οποία επαληθεύουμε, χρησιμοποιώντας αναλυτικά υπολογισμένες ιδιοτιμές. Στην ειδική περίπτωση ενός τρισδιάστατου, σφαιρικά συμμετρικού δείκτη διάθλασης παρουσιάζουμε μια εναλλακτική απόδειξη για την ύπαρξη του φάσματος, αξιοποιώντας ασυμπτωτικές εκφράσεις για τις αντίστοιχες χαρακτηριστικές συναρτήσεις. Επιπλέον, θέτουμε το αντίστροφο φασματικό πρόβλημα και δείχνουμε ότι η γνώση του φάσματος μπορεί να προσδιορίσει με μοναδικό τρόπο μια ακολουθία πηλίκων από συνοριακά δεδομένα Cauchy. Τα πηλίκα αυτά, κάτω από την υπόθεση ότι ο κυματάριθμος δεν αποτελεί ιδιοτιμή Dirichlet, χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την απόδειξη ενός θεωρήματος μοναδικότητας για την ανακατασκευή ενός C[0, 1] δείκτη διάθλασης.	el
heal.abstract	This thesis investigates the direct and inverse spectral problem for a modification to the classical transmission eigenvalue problem, by introducing an artificial metamaterial background. For the direct problem, we utilize a variational formulation setting and the Hilbert-Schmidt theorem to prove discreteness and existence of the spectrum. Furthermore, under a smallness condition on the wavenumber, we discover that the corresponding eigenfunction pairs are not complete in the solution space, in the sense that they do not form a Riesz basis. We define an auxiliary spectral problem that yields an orthonormal basis, in contrast to the original problem. Afterwards, we use this basis to implement a spectral Galerkin scheme for the approximation of the eigenvalues. We are able to prove convergence of the discrete Galerkin scheme to the unknown eigenvalues, under the previously mentioned condition on the wavenumber. Finally, in the case where the domain is a unit disk, we present some numerical examples for the method that we are able to verify, using analytically computed eigenvalues. In the special case of a three dimensional, spherically symmetric refractive index, we show existence of the spectrum in an alternative way, utilizing asymptotic expressions for the corresponding characteristic functions. Furthermore, we pose the inverse spectral problem and show that the knowledge of the spectrum can uniquely determine fractions of boundary Cauchy data. These ratios, under the assumption that the wavenumber is not a Dirichlet eigenvalue, are then used to prove a uniqueness theorem for the reconstruction of a C[0, 1] refractive index.	en
heal.sponsor	Η παρούσα διδακτορική διατριβή χρηματοδοτήθηκε με υποτροφία από τον Ειδικό Λογαριασμό Κονδυλίων και Έρευνας του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.	el
heal.sponsor	The research for the elaboration of the present doctoral dissertation was funded through the scholarship of Special Account for Research Grant of National Technical University of Athens.	en
heal.advisorName	Γκιντίδης, Δρόσος	el
heal.advisorName	Gintides, Drossos	en
heal.committeeMemberName	Γκιντίδης, Δρόσος	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνης	el
heal.committeeMemberName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ	el
heal.committeeMemberName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Γάσπαρης, Ιωάννης	el
heal.committeeMemberName	Χατζηνικολάου, Μαρία	el
heal.committeeMemberName	Τσίτσας, Νικόλαος	el
heal.committeeMemberName	Gintides, Drossos	en
heal.committeeMemberName	Charalampopoulos, Antonis	en
heal.committeeMemberName	Georgoulis, Emmanuil	en
heal.committeeMemberName	Chrysafinos, Konstantinos	en
heal.committeeMemberName	Gasparis, Ioannes	en
heal.committeeMemberName	Chatzinikolaou, Maria	en
heal.committeeMemberName	Tsitsas, Nikolaos	en
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	222 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false