Ευστάθεια και κώνοι προσβασιμότητας γραμμικών συστημάτων και εφαρμογές

Ποταμιάνου, Πηνελόπη-Παναγιώτα; Potamianou, Pinelopi-Panagiota

dc.contributor.author	Ποταμιάνου, Πηνελόπη-Παναγιώτα	el
dc.contributor.author	Potamianou, Pinelopi-Panagiota	en
dc.date.accessioned	2023-01-25T09:28:25Z
dc.date.available	2023-01-25T09:28:25Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/56900
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.24598
dc.rights	Default License
dc.subject	Πίνακες	el
dc.subject	Άλγεβρα	el
dc.subject	Προσβασιμότητα	el
dc.subject	Ευστάθεια	el
dc.subject	Συστήματα	el
dc.subject	Matrices	en
dc.subject	Algebra	en
dc.subject	Reachability	en
dc.subject	Stability	en
dc.subject	systems	en
dc.title	Ευστάθεια και κώνοι προσβασιμότητας γραμμικών συστημάτων και εφαρμογές	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Ανάλυση Πινάκων	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2022-10-12
heal.abstract	Έστω $A$ ένας $n \cross n$ ουσιωδώς μη αρνητικός πίνακας και έστω το γραμμικό διαφορικό σύστημα $\dot{x}(t) = Ax(t)$, $t \geq 0$. Δείχνουμε ότι υπάρχει μία σταθερά $h(A) > 0$ τέτοια ώστε η τροχιά που ξεκινάει από το $x_0$ φτάνει στο μη αρνητικό μέρος-κώνο $\mathbb{R}^n_+$ σε πεπερασμένο χρόνο $t_0 = t(x_0) \geq 0$ αν και μόνο αν η ακολουθία των σημείων που παράγεται από την προσέγγιση πεπερασμένων διαφορών από το $x_0$, $x^{(k)} = (I + hA)^k x_0$, με βήμα $0 < h < h(A)$, φτάνει στο $\mathbb{R}^n_+$ σε πεπερασμένο δείκτη $k_0 = k(x_0) \geq 0$.\\ Εξαιτίας της ουσιώδους μη αρνητικότητας του πίνακα $A$, αν η τροχιά $x(t)$ φτάσει στο μη αρνητικό μέρος-κώνο, τότε παραμένει σε αυτόν από εκείνη τη χρονική στιγμή και μετά. Εισάγουμε την έννοια των σημείων συμβίωσης του συστήματος. Τα σημεία συμβίωσης είναι σημεία του κώνου προσβασιμότητας του μη αρνητικού μέρους-κώνου, $X_A(\mathbb{R}^n_+)$, τέτοια ώστε το διάνυσμα της τροχιάς του συστήματος σε αυτά τα σημεία ανήκει, επίσης, στον κώνο προσβασιμότητας. Αυτό σημαίνει ότι όχι μόνο η τροχιά γίνεται και παραμένει μη αρνητική, αλλά υπάρχει ένας χρόνος τέτοιος ώστε από εκεί και πέρα τα στοιχεία της τροχιάς γίνονται και παραμένουν μη φθίνοντα. Ακόμη, χαρακτηρίζουμε όλα τα σημεία συμβίωσης του συστήματος.\\ Αποδεικνύουμε ότι η δεξιά ιδιοτιμή του πίνακα $A$ πρέπει να είναι πραγματική και πρέπει το αριστερό και το δεξί ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχούν σε αυτήν να είναι μη αρνητικά. Επιπλέον, για κάποιον αριθμό $a \geq 0$, ο πίνακας $A+aI$ πρέπει να είναι τελικά μη αρνητικός, δηλαδή οι δυνάμεις του θα πρέπει να γίνονται και να παραμένουν κατά στοιχείο μη αρνητικές. Οι αρχικές συνθήκες $x_0$ που καταλήγουν σε μη αρνητικές καταστάσεις $x(t)$ σε πεπερασμένο χρόνο αποδεικνύεται ότι σχηματίζουν έναν κυρτό κώνο που σχετίζεται με τον εκθετικό πίνακα $e^{tA}$ και την τελική μη αρνητικότητά του.\\ Ο χαρακτηρισμός των αρχικών σημείων επεκτείνεται σε έναν αριθμητικό έλεγχο, όταν ο πίνακας $A$ είναι μη υποβιβάσιμος: αν το $x^{(k)}$ γίνει και παραμείνει θετικό, τότε το ίδιο συμβαίνει και για την τροχιά $x(t)$; αν η $x(t)$ δεν γίνει και δεν παραμείνει θετική, τότε είτε το $x^{(k)}$ γίνεται και παραμένει αρνητικό, είτε έχει πάντα ένα αρνητικό και ένα θετικό στοιχείο. Εξαιτίας σφαλμάτων στρογγυλοποίησης, η τελευταία περίπτωση εκδηλώνεται αριθμητικά με το να συγκλίνει με αργό ρυθμό το $x^{(k)}$ σε ένα θετικό ή ένα αρνητικό διάνυσμα. Παρουσιάζουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος υλοποιεί αυτόν τον έλεγχο, καθώς και την αριθμητική ανάλυση του αλγορίθμου και παραδείγματα. Επίσης, γίνεται συζήτηση στην περίπτωση της υποβιβασιμότητας και περιγράφεται ένας παρόμοιος έλεγχος. Τέλος, κατά την συνεισφορά μας, αναπτύχθηκε ο κώδικας του αλγορίθμου σε περιβάλλον \selectlanguage{english} Matlab. \selectlanguage{greek}	el
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Τσινιάς, Ιωάννης	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	86 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false