Προβλήματα ελαχιστοποίησης λόγου αθροίσματος υποσυνόλων

Αλωνιστιώτης, Ιωάννης; Alonistiotis, Ioannis

dc.contributor.author	Αλωνιστιώτης, Ιωάννης	el
dc.contributor.author	Alonistiotis, Ioannis	en
dc.date.accessioned	2023-05-19T09:32:37Z
dc.date.available	2023-05-19T09:32:37Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/57734
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.25431
dc.rights	Default License
dc.subject	Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι	el
dc.subject	Θεωρία Πολυπλοκότητας	el
dc.subject	Κρυπτογραφία	el
dc.title	Προβλήματα ελαχιστοποίησης λόγου αθροίσματος υποσυνόλων	el
dc.title	Subset Sum Ratio Minimization Problems	en
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Θεωρητική Πληροφορική	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2022-04-12
heal.abstract	Στην παρούσα διπλωματική εργασία, παρουσιάζουμε το πρόβλημα \SSR\ το οποίο ορίζεται ως εξής: δεδομένου ενός συνόλου θετικών ακεραίων $Z$ πληθυκότητας $n$, να προσδιοριστεί εάν υπάρχουν δύο ξένα υποσύνολα του $Z$, των οποίων ο λόγος των αθροισμάτων τους είναι βέλτιστος. Το \SSR\ αποτελεί πρόβλημα βελτιστοποίησης και είναι στενά συνδεδεμένο με το \ESS, οριζόμενο ως εξής: δεδομένου ενός συνόλου θετικών ακεραίων $Z$ πληθυκότητας $n$, να προσδιοριστεί εάν υπάρχουν δύο ξένα υποσύνολα του $Z$, τα στοιχεία των οποίων αθροίζουν στην ίδια τιμή. Ακριβέστερα, στο \SSR\ θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν ξένα υποσύνολα που να αθροίζονται στον ίδιο αριθμό, συνεπώς αναζητούμε αυτά τα ξένα υποσύνολα των οποίων ο λόγος είναι πιο κοντά στη μονάδα. Εμπνεόμενοι από τεχνικές που χρησιμοποιούνται στις πιο σύγχρονες ερευνητικές δημοσιεύσεις για τα προβλήματα \SubS\ και \ESS\ ,καθώς και προσεγγιστικών σχημάτων που έχουν διαμορφωθεί για το \SSR\ ,τα οποία περιγράφουμε αναλυτικά στη παρούσα διπλωματική, παρουσιάζουμε ένα νέο προσεγγιστικό σχήμα (FPTAS) το οποίο επιτυγχάνει τη καλύτερη πολυπλοκότητα από τα προσεγγιστικά σχήματα που έχουν παρουσιαστεί μέχρι σήμερα. Πιο αναλυτικά, αποδεικνύουμε ότι για την πολυπλοκότητα του FPTAS για το \SSR\ εκφραζόμενη στη μορφή $O((n + \frac{1}{\varepsilon})^c)$, γίνεται με $c < 5$, αποτέλεσμα το οποίο αποτελεί βελτίωση συγκριτικά με όλα τα FPTAS's που έχουν δημοσιευτεί. Επιπροσθέτως, μέσω του προσεγγιστικού σχήματος που παρουσιάζεται σε αυτή τη διπλωματική, αποδεικνύεται μια στενότερη σύνδεση μεταξύ της πολυπλοκότητας του \SSR\ και του \ASS\ .Ειδικότερα,στο προτεινόμενο FPTAS χρησιμοποιείται ως υπορουτίνα η προσεγγιστική επίλυση πολλών \SubS\ υποπροβλημάτων. Με αυτό τον τρόπο, οποιαδήποτε βελτίωση στην πολυπλοκότητα σε προσεγγιστικό σχήμα για το \SubS\ μπορεί να μεταφερθεί απευθείας και στο προσεγγιστικό σχήμα για το \SSR\. Καταλήγουμε, ότι με το FPTAS που παρουσιάζουμε αποτυπώνεται η ανάγκη για περαιτέρω έρευνα στη προσεγγισιμότητα του \SubS\ και ειδικότερα η μελέτη μιας πιο αδύναμης μορφής προσέγγισης η οποία χαλαρώνει την ανισότητα για το άθροισμα στόχο $t$. Πιο αναλυτικά, για το σύνολο λύση $Y$ για το οποίο πρέπει να ισχύει $\Sigma(Y) \leq t$, η ανισότητα μετατρέπεται σε $\Sigma(Y) \leq (1 + \varepsilon) \cdot t$, συνθήκη η οποία δύναται να βοηθήσει στην διαμόρφωση κάποιου βελτιωμένου προσεγγιστικού σχήματος για το \SubS\ και επομένως για το \SSR\ που είναι το υπό μελέτη πρόβλημα.	el
heal.advisorName	Παγουρτζής, Αριστείδης	el
heal.committeeMemberName	Φωτάκης, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Μαρκάκης, Ευάγγελος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	72 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false