Πολλαπλές κλίμακες στην ανάλυση συμπεριφοράς συστημάτων δισδιάστατων δινών

Abstract

Ένα πολύ διαδεδομένο πρόβλημα στην ιστορία της Μηχανικής των Ρευστών είναι η μελέτη της συμπεριφοράς συστημάτων Ν σημειακών δινών στις δύο διαστάσεις. Στην παρούσα εργασία μελετώνται οι περιπτώσεις Ν = 2, Ν = 3 και Ν = 4 και τα συμπεράσματα που εξάγονται συνδυαζόμενα με μία τυπική μέθοδο δινών–πλέγματος (particle-mesh) μας οδηγούν στην κατασκευή μίας αριθμητικής διαδικασίας που υπολογίζει τη χρονική εξέλιξη μη συνεκτικών πεδίων στροβιλότητας κάνοντας υπολογισμούς σε περισσότερες από μια κλίμακες. Η εργασία απαρτίζεται από 3 κεφάλαια, στο καθένα από τα οποία παρουσιάζεται και ένα διαφορετικό θεματικό μέρος. Στο Κεφάλαιο 1 αφού γίνει μια συνοπτική παρουσίαση των τρόπων δυναμικής περιγραφής του συστήματος των Ν δινών, εξετάζονται πιο αναλυτικά οι περιπτώσεις Ν = 2 και Ν = 3. Το βασικό συμπέρασμα είναι ότι τα συστήματα είναι ολοκληρώσιμα σε όλες τις περιπτώσεις και συνεπώς έχουν πάντοτε αναλυτικά υπολογίσιμες περιοδικές λύσεις. Στο κεφάλαιο 2 εξετάζεται η περίπτωση Ν = 4 και εντοπίζονται εκείνες οι αρχικές διατάξεις των τεσσάρων δινών που μας οδηγούν σε χαοτική συμπεριφορά του συστήματος. Ένα από τα βασικά συμπεράσματα αυτού του κεφαλαίου αφορά στην περίπτωση όπου μία δίνη εκ των τεσσάρων βρίσκεται σε κατά πολύ μεγαλύτερες σχετικές αποστάσεις από τις υπόλοιπες τρεις, από ότι οι υπόλοιπες τρεις δίνες μεταξύ τους. Διαπιστώνεται ότι σε αυτή την περίπτωση η απομονωμένη δίνη τείνει να αντιλαμβάνεται το σύστημα των υπολοίπων δινών σαν μια μόνο δίνη. Στο τελευταίο και πιο εφαρμοσμένο κεφάλαιο, αφού γίνει μια συνοπτική εισαγωγή στις μεθόδους με τις οποίες χρησιμοποιώντας σημειακές δίνες σε συνδυασμό με πλέγματα μπορούμε να υπολογίσουμε τη χρονική εξέλιξη πεδίων στροβιλότητας, κατασκευάζεται σε Fortran η ρουτίνα remesh.f που αποτελεί ένα τυπικό παράδειγμα μιας τέτοιας μεθόδου. Στη συνέχεια γίνεται μια συζήτηση σχετικά με τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της μεθόδου αυτής –με το σημαντικότερο αυτών να είναι η ενδογενής και αναπόφευκτη αριθμητική διάχυση που εισάγεται στην όλη διαδικασία λόγω του επιλεγμένου τρόπου ανακατανομής στροβιλότητας στο πλέγμα, ο οποίος οδηγεί σε συνεχή αύξηση του συνολικού αριθμού δινών στο πλέγμα. Έπειτα με χρήση της ρουτίνας remesh.f ελέγχεται και επιβεβαιώνεται η εγκυρότητα του βασικού συμπεράσματος του 2ου κεφαλαίου και υπολογίζονται οι σχετικές αποστάσεις που οριοθετούν το χώρο μέσα στον οποίο αυτό ισχύει μέχρι ακρίβειας 6ου δεκαδικού ψηφίου, για τρία πλέγματα διαφορετικών πυκνοτήτων, το κάθε ένα εκ των οποίων αντιπροσωπεύει μια διαφορετική κλίμακα στην οποία θα μπορούσε κάποιος να απεικονίσει το πεδίο στροβιλότητας. Όλα τα παραπάνω συνδυάζονται στη ρουτίνα group.f η οποία λειτουργεί όπως η remesh,f με τη βασική διαφορά ότι κάνει τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας ταυτόχρονα και τα τρία προαναφερθέντα πλέγματα, δηλαδή ουσιαστικά χρησιμοποιεί τρεις διαφορετικές κλίμακες για να υπολογίσει τις επαγόμενες ταχύτητες σε κάθε δίνη-κόμβο του πλέγματος. Επίσης, ακολουθεί μια ανάλυση που αποδεικνύει γιατί η group.f μπορεί να υπολογίσει τα ίδια πεδία στροβιλότητας έως και 23 φορές γρηγορότερα σε σχέση με τη remesh.f και παρατίθενται 5 εφαρμογές όπου η εν λόγω ρουτίνα υπολογίζει την εξέλιξη κάποιων πολύ χαρακτηριστικών πεδίων στροβιλότητας. Η εργασία τελειώνει με το σχολιασμό των αποτελεσμάτων και κάποιες προτάσεις που αφορούν την βελτιστοποίηση της ρουτίνας όσον αφορά την επίτευξη ακόμα καλύτερων χρόνων υπολογισμού καθώς επίσης και τις τροποποιήσεις που θα πρέπει κάποιος να πραγματοποιήσει έτσι ώστε η group.f να υπολογίζει και συνεκτικές ροές.

A very wide problem in the history of Fluid Mechanics is the study of the two-dimensional dynamical system of N point vortices. At this paper we analyze the cases N = 2, N = 3 and N = 4 and the conclusions obtained, combined with a standard Particle – Mesh method lead us to the construction of a program that calculates non viscous vorticity fields in more than one scales. The structure of the paper combines of 3 main chapters and in each chapter a different basic topic is raised. In chapter 1 after a very abstract exposition of the formalism of the system of N point vortices is performed, the cases N = 2 and N = 3 are more thoroughly analyzed. The main conclusion obtained is the stochastic behavior of these two cases, which means that we can always calculate periodical solutions. In chapter 2 the case N = 4 is examined and the initial 4-vortex configurations that lead our system to chaotic solutions are detected and explained. One of the most important conclusions of this chapter concerns an initial vortex configuration, in which one of the vortices is located very far away from the system of the remaining three vortices. It is proved that the far-away vortex tends to apprehend the system of the remaining three vortices as if, only one vortex was located in their place. In the third and final chapter of the paper after a brief introduction in some of the basic Particle – Mesh methods that are used for calculating vorticity fields, the remesh.f code built in FORTRAN is presented and explained. A very analytical discussion about the advantages and disadvantages of the method in use follows which concludes at the result that the main disadvantage lies in the fact that the vortex-particle remeshing method used, constantly augments the total number of particles thus introducing a kind of arithmetical diffusion. After that, by using the remesh.f routine the correctness of the main conclusion of chapter 2 is confirmed and the radius, in which the conclusion holds within a sixth decimal digit accuracy, is calculated. Those calculations are being made for three separate meshes of different density, with each mesh representing a different scale from which we can observe a particular vorticity field. All the above are combined in the group.f routine that resembles to the remesh.f yet it has a very important difference : it calculates the speed at the knots of the mesh using at the same time all the three meshes mentioned above or in other words it performs multi-scaled calculations. Also, an analysis follows which proves why our multi-scale method can calculate a certain vorticity field up to 23 times faster when compared with the remesh.f method, and some applications of the group.f routine calculating some very characteristic vorticity fields are presented. The paper concludes with the annotation of the application results while some proposals are being made concerning possible ways in which one can make the routine even faster or what modifications should be made so that the routine calculates viscous flow as well.