Το θεώρημα Blumberg

Παπαστεργής, Παναγιώτης

dc.contributor.author	Παπαστεργής, Παναγιώτης
dc.date.accessioned	2023-10-16T10:00:31Z
dc.date.available	2023-10-16T10:00:31Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/58195
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.25891
dc.rights	Default License
dc.subject	Τοπολογία	el
dc.subject	Χώροι Baire	el
dc.subject	Κατηγορίες Baire	el
dc.title	Το θεώρημα Blumberg	el
dc.contributor.department	Τομέας Μαθηματικών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.secondaryTitle	Blumberg's Theorem	el
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2023-06-29
heal.abstract	Το θεώρημα Blumberg ισχυρίζεται πως για οποιαδήποτε συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, θα υπάρχει ένα πυκνό υποσύνολο του X ώστε ο περιορισμός της συνάρτησης σε αυτό θα είναι συνεχής. Ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα προέκυψε από τους J. C. Bradford και C. Goffman, γενικεύοντας το αρχικό συμπέρασμα για κάθε συναρτήση f:X\longrightarrow\mathbb{R}, όπου ο X είναι μετρικός χώρος Baire και δίνοντας ένα χαρακτηρισμό των χώρων, στους οποίους ο ισχυρισμός του Blumberg είναι βάσιμος. Το πρώτο μέρος της απόδειξης του θεωρήματος στηρίζεται στην ιδιότητα περίπου συνέχειας, η οποία κατασκευάστηκε από τον ίδιο τον H. Blumberg. Το κυριότερο συμπέρασμα από αυτή την ιδιότητα είναι πως, αν ο X είναι χώρος Baire, κάθε συνάρτηση f:X\longrightarrow\mathbb{R} είναι περίπου συνεχής σε ένα πυκνό σύνολο R\subseteq X. Το δεύτερο μέρος της απόδειξης αφορά την εύρεση του πυκνού υποσυνόλου του X, όπου ο περιορισμός της f σε αυτό θα είναι συνεχής. Ειδικότερα, για τη συνάρτηση f\|_{R}:R\longrightarrow\mathbb{R}, η οποία είναι περίπου συνεχής σε κάθε σημείο του R, κατασκευάζεται ένα πυκνό σύνολο D\subseteq R, στα σημεία του οποίου η f\|_{R} είναι συνεχής. Το πρώτο μέρος αποτελεί τοπολογικό συμπέρασμα, ενώ για το δεύτερο, απαιτείται μια επαγωγική διαδικασία επιλογής στοιχείων του R, που οδηγεί, τελικά, στην κατασκευή του επιθυμητού συνόλου D. Για την περίπτωση του \mathbb{R} και γενικότερα ενός χώρου X με αριθμήσιμη βάση για την τοπολογία του, αρκεί η χρήση μαθηματικής επαγωγής, ενώ, διαφορετικά, χρειάζονται απαραίτητα αξιωματικά εργαλεία, όπως η υπερπεπερασμένη επαγωγή ή το λήμμα του Zorn. Σε αυτή την εργασία, παρουσιάζονται δύο διαφορετικές επεκτάσεις του θεωρήματος Blumberg. Ειδικότερα, η πρώτη αναφέρεται σε μετρικούς χώρους Baire, ενώ η δεύτερη σε δεύτερους αριθμήσιμους και T_{2} τοπολογικούς χώρους Baire.	el
heal.advisorName	Κανελλόπουλος, Βασίλης
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλης
heal.committeeMemberName	Γρηγοριάδης, Βασίλης
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος
heal.academicPublisher	Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	94
heal.fullTextAvailability	false