Αλληλεπιδράσεις μεταξύ της περιγραφικής θεωρίας συνόλων και της θεωρίας παιγνίων

Κυριάκου, Βασιλική; Kyriakou, Vasiliki

dc.contributor.author	Κυριάκου, Βασιλική	el
dc.contributor.author	Kyriakou, Vasiliki	en
dc.date.accessioned	2023-10-19T10:25:48Z
dc.date.available	2023-10-19T10:25:48Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/58218
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.25914
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Πολωνικός χώρος	el
dc.subject	Άπειρο παίγνιο	el
dc.subject	Στρατηγική	el
dc.subject	G*-παίγνιο	el
dc.subject	Παίγνιο κάλυψης	el
dc.subject	Polish space	en
dc.subject	Infinite game	en
dc.subject	Strategy	en
dc.subject	G*-game	en
dc.subject	Covering game	en
dc.title	Αλληλεπιδράσεις μεταξύ της περιγραφικής θεωρίας συνόλων και της θεωρίας παιγνίων	el
dc.title	Interactions Between Descriptive Set Theory and Game Theory	en
heal.type	masterThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Περιγραφική Θεωρία Συνόλων	el
heal.classification	Θεωρία Παιγνίων	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.classification	Descriptive Set Theory	en
heal.classification	Game Theory	en
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2023-06-19
heal.abstract	Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία αποσκοπεί στην εφαρμογή θεμελιωδών αρχών της Περιγραφικής Θεωρίας Συνόλων στον επιστημονικό κλάδο της Θεωρίας Παιγνίων. Η Περιγραφική Θεωρία Συνόλων αποτελεί ενεργή ερευνητική περιοχή της σύγχρονης Θεωρίας Συνόλων, με αντικείμενο μελέτης τη δομή ορίσιμων συνόλων και συναρτήσεων σε Πολωνικούς χώρους. Οι ρίζες της ανάγονται στο έργο των Borel, Baire και Lebesgue, στις αρχές του 20ου αιώνα. Στην εργασία αυτή ξεκινάμε παραθέτοντας στο πρώτο κεφάλαιο κάποια βασικά προαπαιτούμενα της Θεωρίας Συνόλων, αλλά και της Θεωρίας Μετρικών και Τοπολογικών χώρων, σκοπεύοντας να εισαγάγουμε στο δεύτερο κεφάλαιο την έννοια του Πολωνικού χώρου. Οι Πολωνικοί χώροι είναι τοπολογικοί χώροι, πλήρεις και διαχωρίσιμοι ως προς τη μετρική που επάγει την τοπολογία τους. Δύο από τους σημαντικότερους Πολωνικούς χώρους που έχουν μελετηθεί είναι ο χώρος του Baire και ο χώρος του Cantor. Αρκετές φορές στην εργασία οι χώροι αυτοί θα αποτελέσουν σημαντικό εργαλείο και θα τους επικαλεστούμε για να εξαγάγουμε τα αποτελέσματά μας. Στο τρίτο κεφάλαιο της εργασίας, θα ορίσουμε μερικούς από τους θεμελιώδεις τελεστές συνόλων, οι οποίοι έχουν ως πεδίο εφαρμογής υποσύνολα Πολωνικών χώρων. Θα αναφερθούμε επίσης στην έννοια της κλάσης συνόλων και θα παραθέσουμε μία ειδική κατηγορία κλάσεων συνόλων, τις κλάσεις Borel συνόλων πεπερασμένης τάξης σε Πολωνικούς χώρους. Θα παρουσιάσουμε την Ιεραρχία των Borel συνόλων πεπερασμένης τάξης και θα αναφερθούμε στις ιδιότητες κλειστότητάς τους. Συνεχίζοντας, θα προχωρήσουμε στη μελέτη πιο σύνθετων κλάσεων από αυτές των Borel συνόλων, τις Προβολικές κλάσεις συνόλων πεπερασμένης τάξης και θα περιγράψουμε την ιεραρχία τους. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εντάσσουμε στη μελέτη μας την έννοια του δένδρου. Θα ορίσουμε τον Χώρο των δένδρων και θα δείξουμε ότι αποτελεί έναν συμπαγή Πολωνικό χώρο. Επιπλέον, θα αναφερθούμε σε μία ιδιότητα που έχουν πολλά υποσύνολα των Πολωνικών χώρων, την “Ιδιότητα του Τέλειου Συνόλου”. Θα επιβεβαιώσουμε την ισχύ της ιδιότητας αυτής, τόσο για τα κλειστά, όσο και για τα αναλυτικά υποσύνολα Πολωνικών χώρων, αποδεικνύοντας τα Θεωρήματα “Cantor-Bendixson” και “Τέλειου Συνόλου”, αντίστοιχα. Για την απόδειξη του Θεωρήματος του Τέλειου Συνόλου θα χρειαστεί να ορίσουμε μία νέα κατηγορία δένδρου, το δένδρο ζευγών. Προχωρώντας στο επόμενο κεφάλαιο, θα συμπεριλάβουμε στην εργασία αυτή μερικές πρωταρχικές έννοιες της Θεωρίας Μέτρου που αποτελούν ισχυρό προαπαιτούμενο για τη μελέτη μας. Θα ξεκινήσουμε κάνοντας αναφορά στη συνάρτηση του μέτρου, στη Μοναδικότητα και στην Πλήρωσή του. Επιπλέον, θα ορίσουμε τα σύνολα Borel, το μέτρο Borel, αλλά και τις Borel μετρήσιμες συναρτήσεις. Στη συνέχεια, θα αποδείξουμε το “Θεώρημα Schröder-Bernstein για καλούς Borel μονομορφισμούς”. Στόχος μας είναι έχοντας ως εφόδιο το Θεώρημα που μόλις αναφέραμε να αποδείξουμε το “Θεώρημα του Borel ισομορφισμού” και τελικά βασισμένοι στα παραπάνω, να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι δύο υπεραριθμήσιμοι Πολωνικοί χώροι είναι Borel ισομορφικοί. Στο έκτο κεφάλαιο, θα πραγματοποιήσουμε μία εκτενή μελέτη στη Θεωρία Παιγνίων, αξιοποιώντας τις γνώσεις από τα κεφάλαια που προηγήθηκαν. Τα παίγνια που θα μας απασχολήσουν καλούνται “Gale-Stewart”. Πρόκειται για άπειρα παίγνια τέλειας πληροφόρησης μεταξύ δύο παικτών - του παίκτη I και της παίκτριας II. Θα περιγράψουμε τους κανόνες διεξαγωγής των παιγνίων, τις στρατηγικές που ακολουθούν οι παίκτες, καθώς και τον τρόπο με τον οποίο καθορίζεται ο νικητής. Στη συνέχεια, θα εισαγάγουμε τον όρο της “Προσδιοριστότητας” ενός παιγνίου και θα μελετήσουμε κάποιες ιδιότητες που σχετίζονται με αυτή. Προχωρώντας, θα περιγράψουμε τα G-Παίγνια, τα οποία αποτελούν μία ειδική κατηγορία τοπολογικών παιγνίων. Θα εστιάσουμε το ενδιαφέρον μας σε G-Παίγνια που εκτυλίσσονται σε υποσύνολα των χώρων των Baire και Cantor, με στόχο υποθέτοντας την Προσδιοριστότητα των παιγνίων μέσα σε σύνολα που ανήκουν στις κλάσεις συνόλων του Lusin, να δείξουμε ότι τα σύνολα αυτά έχουν ένα μη κενό τέλειο υποσύνολο. Τελευταία αφήνουμε να μελετηθούν τα Παίγνια Κάλυψης. Τα παίγνια αυτά σχετίζονται με ένα υποσύνολο του χώρου του Cantor και ένα σ-πεπερασμένο Borel μέτρο μέσα στον χώρο αυτό. Συμπέρασμα της ενασχόλησής μας με τα προαναφερθέντα παίγνια αποτελεί το γεγονός ότι υποθέτοντας την Προσδιοριστότητα ενός παιγνίου που εξελίσσεται σε σύνολο που ανήκει στις κλάσεις συνόλων του Lusin, το σύνολο αυτό είναι μετρήσιμο ως προς το μέτρο με το οποίο σχετίζεται το παίγνιο.	el
heal.abstract	The present thesis aims to apply the fundamental principles of Descriptive Set Theory to the discipline of Game Theory. The discipline of Descriptive Set Theory is an active research area of modern Set Theory and specializes in the study of the structure of definable sets and functions in Polish spaces. It dates back to the work of Borel, Baire and Lebesgue at the beginning of the 20th century. In the first chapter, we begin by setting out the preliminaries of Set Theory and Theory of Metric and Topological Spaces, intending to introduce the concept of Polish space in the next chapter. The Polish spaces are essentially separable completely metrizable spaces. The most fundamental Polish spaces that have been studied are the Baire space and the Cantor space. Several times in this thesis, these spaces will be an important tool invoked to extract our results. In the third chapter of the paper, we define some of the fundamental set operators on subsets of Polish spaces. We also consider the notion of the pointclass and we list a special category of pointclasses, the Borel pointclasses of finite order in Polish spaces. We introduce the Hierarchy of Borel sets of finite order and we refer to their closure properties. We proceed with the study of the more complex Projective pointclasses of finite order and we describe their hierarchy. In chapter four, we incorporate the concept of a tree into our study. We will define the space of trees and we will prove that it is a compact Polish space. In addition, we will refer to a property that many subsets of Polish spaces have, the “Perfect Set Property”. We will confirm the validity of this property, both for closed, and for analytic subsets of Polish spaces, proving the Cantor-Bendixson and Perfect Set Theorems, respectively. For the proof of the Perfect Set Theorem, we will need to define a new category of trees, the trees of pairs. In the following chapter, we will consider some primary concepts of Measure Theory that are important preliminaries for our study. We will begin by mentioning the measure function, its Uniqueness and Completion. In addition, we will define Borel sets, the Borel measure, and Borel measurables functions. In turn, we will prove the “Schröder-Bernstein Theorem for good Borel monomorphisms”. Our goal is, having the Theorem above as a starting point, to prove the “Borel Isomorphism Theorem” and finally to conclude with the proof that two uncountable Polish spaces are Borel isomorphic. In chapter six, we will carry out an extensive study in Game Theory, utilizing knowledge from the previous chapters. The games we will engage in are called “Gale-Stewart”. These are infinite games of perfect information between two players - player I and player II. We will thoroughly describe the rules of the games, the strategies that the players follow, as well as the way in which the winner is determined. Next, we introduce the term of “Determinacy” and we study some of its properties. Then, we describe the G-Games, which are a special category of topological games. We will focus on G-Games that unfold on subsets of Baire and Cantor spaces, with the goal of assuming the determinacy of games within sets belonging to the pointclasses of Lusin to show that these sets have a non-empty perfect subset. Ultimately, we study the Covering Games associated with a subset of the Cantor space and a σ-finite Borel measure on it. A concluding remark for our work on the games mentioned above is the fact that assuming the determinacy of a game evolving in a set belonging to the pointclasses of Lusin, this set is measurable in terms of the measure with which the game is associated.	en
heal.advisorName	Γρηγοριάδης, Βασίλειος	el
heal.advisorName	Gregoriades, Vassilios	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Arvanitakis, Alexandros	en
heal.committeeMemberName	Kanellopoulos, Vasileios	en
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	74 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false