Πίνακες Hadamard και εφαρμογές

Χιονίδης, Θεόδωρος; Chionidis, Theodoros

dc.contributor.author	Χιονίδης, Θεόδωρος	el
dc.contributor.author	Chionidis, Theodoros	en
dc.date.accessioned	2024-02-13T10:16:26Z
dc.date.available	2024-02-13T10:16:26Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/58882
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.26578
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Πίνακας Hadamard	el
dc.subject	Κωδικός Hadamard	el
dc.subject	Κατασκευή J.J.Sylvester	el
dc.subject	Κατασκευή Paley	el
dc.subject	Κατασκευή Williamsome	el
dc.subject	Hadamard matrix	en
dc.subject	Hadamard code	en
dc.subject	J.J. Sylvester construction	en
dc.subject	Paley construction	en
dc.subject	Williamsome construction	en
dc.title	Πίνακες Hadamard και εφαρμογές	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Γραμμική Άλγεβρα	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2023-10-17
heal.abstract	Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε με αφορμή τη μελέτη ενός τετραγωνικού πίνακα με όλα τα στοιχεία του να είναι 1 και -1, ο οποίος ονομάζεται πίνακας Hadamard. Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό γνώρισμα του πίνακα είναι ότι έχει τις γραμμές του και τις στήλες του ορθογώνιες μεταξύ τους. Μία ακόμη βασική ιδιότητα του πίνακα είναι ότι όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα Hadamard με τον ανάστροφό του, το γινόμενο που προκύπτει είναι ίσο με τον μοναδιαίο πίνακα επί την τάξη του πίνακα Hadamard. Πρώτος ο J.J.Sylvester μελέτησε τέτοιου είδους πίνακες το 1857. Ήταν εκείνος που βρήκε όλους τους πίνακες Hadamard της τάξης δύναμης του 2. Λίγα χρόνια αργότερα, το 1893 ο Jacques Hadamard στον οποίον οφείλουν την ονομασία τους οι πίνακες διαπίστωσε ότι υπάρχουν πίνακες Hadamard διαφορετικών τάξεων και όχι αποκλειστικά των δυνάμεων του 2 και συγκεκριμένα διατύπωσε την εικασία ότι υπάρχει πίνακας Hadamard για την τάξη 1, 2 και για πολλαπλάσια του 4. Ένας ακόμα επιστήμονας, ο Paley το 1933 κατάφερε να δημιουργήσει μια νέα κατασκευή πινάκων Hadamard η οποία γεφυρώνει το χάσμα μεταξύ της γραμμικής άλγεβρας με την άλγεβρα και έχει πάρει το όνομά του. Αρχικά δίνονται κάποια βασικά μαθηματικά εργαλεία που θα αξιοποιηθούν σε όλη την έκταση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Γίνεται αναφορά σε στοιχεία από την γραμμική άλγεβρα που είναι χρήσιμα στην ανάλυση των πινάκων Hadamard. Έπειτα, δίνεται o ορισμός του γινόμενου Kronecker, έναν πολλαπλασιασμό διαφορετικό από τον συνηθισμένο, μεταξύ δύο πινάκων ο οποίος είναι απαραίτητος για την πρώτη κατασκευή του Sylvester. Προχωρώντας, παρουσιάζονται κάποια βασικά στοιχεία από την άλγεβρα και τη θεωρία των αριθμών, απαραίτητα για τον ορισμό του σώματος Galois, το οποίο θα αξιοποιηθεί στην δεύτερη κατασκευή του Paley. Στην συνέχεια παρουσιάζεται ο πίνακας Hadamard με τις ιδιότητες του. Μελετάται η μέθοδος κατασκευής του J.J. Sylvester για τους πίνακες Hadamard με τη χρήση του γινομένου Kronecker, δίνονται παραδείγματα πάνω στην κατασκευή και επισημαίνονται σημαντικά συμπεράσματα για τους πίνακες Hadamard που αντλούνται από την κατασκευή του Sylvester. Προχωρώντας, παρουσιάζεται η κατασκευή του Paley και τα αναγκαία μαθηματικά εργαλεία από την θεωρία των αριθμών για να την κατασκευή πινάκων Hadamard. Δίνεται ο ορισμός διαφορετικών ειδών πινάκων Hadamard, πιο συνθέτων από τους απλούς πίνακες Hadamard. Ολοκληρώνοντας την μελέτη των πινάκων Hadamard ακολουθεί η κατασκευή του Williamsome. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας, αντικείμενο μελέτης αποτελεί ο κώδικάς Hadamard. Ο κώδικάς αυτός δημιουργείται από έναν πίνακα Hadamard και ανήκει σε μια ευρύτερη οικογένεια κωδικών, την Reed-Muller. Στο τέλος κατασκευάζονται τέλειοι κωδικοί με την χρήση των πινάκων Hadamard και παρουσιάζεται η εφαρμογή που έχω δημιουργήσει για την καλύτερη εμπέδωση κατασκευής τέλειων κωδικών.	el
heal.abstract	This thesis was carried out in the context of studying a square matrix with all its elements being 1 and -1, which is called a Hadamard matrix. A distinctive characteristic of the matrix is that its rows and columns are orthogonal pair wise to each other. Another fundamental property of the matrix is that when we multiply a Hadamard matrix by its transpose, the resulting product is equal to the identity matrix multiplied by the order of the Hadamard matrix. The first study of such matrices was conducted by J.J. Sylvester in 1857. He found all Hadamard matrices of order 2's power. A few years later, in 1893, Jacques Hadamard, after whom the matrices are named, discovered that there are Hadamard matrices of different orders, not exclusively powers of 2. He specifically formulated the conjecture that there exists a Hadamard matrix for orders 1, 2, and 4k, where k is an integer. Another scientist, Paley, managed to create a new construction of Hadamard matrices in 1933, bridging the gap between linear algebra and algebraic theory. His construction is known as the Paley construction. Initially, some basic mathematical tools that will be utilized throughout this thesis are presented. References are made to elements from linear algebra that are useful in the analysis of Hadamard matrices. The definition of the Kronecker product is then provided, which is a multiplication different from the conventional one, used in Sylvester's first construction. Moving forward, some essential elements from algebra and number theory are presented, necessary for the definition of the Galois field, which will be utilized in Paley's second construction. Next, the Hadamard matrix is presented along with its properties. The method of construction by J.J. Sylvester using the Kronecker product is studied, and examples are given illustrating the construction, emphasizing the significant conclusions derived from Sylvester's construction. Subsequently, Paley's construction is presented, along with the necessary mathematical tools from number theory, to construct Hadamard matrices. The definition of different types of more complex Hadamard matrices beyond simple Hadamard matrices is given. The study of Hadamard matrices concludes with the construction of the Williamson matrix. In the last part of the thesis, the focus of study is the Hadamard code. This code is created from a Hadamard matrix and belongs to a broader family of codes, the Reed-Muller codes. Finally, perfect codes are constructed using Hadamard matrices, and the application I have developed for better understanding the construction of perfect codes is presented.	en
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγίωτης	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Στεφανέας, Πέτρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	81 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false