P-colourability, the determinant and other classical invariants in knot Theory

Φικιώρη, Αλεξάνδρα; Fikiori, Alexandra

dc.contributor.author	Φικιώρη, Αλεξάνδρα	el
dc.contributor.author	Fikiori, Alexandra	en
dc.date.accessioned	2024-09-03T06:44:05Z
dc.date.available	2024-09-03T06:44:05Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/60099
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.27795
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Ισοτοπία	el
dc.subject	Isotopy	en
dc.subject	Χρωματισιμότητα κόμβων	el
dc.subject	Ορίζουσα κόμβων	el
dc.subject	Αριθμός λύσεως	el
dc.subject	Αριθμός διασταυρώσεν	el
dc.subject	Knot colorability	en
dc.subject	Knot determinant	en
dc.subject	Unknotting number	en
dc.subject	Crossing number	en
dc.title	P-colourability, the determinant and other classical invariants in knot Theory	en
dc.title	Η p-χρωματισιμότητα, η ορίζουσα και άλλες κλασικές αναλλοίωτες στην Θεωρία Κόμβων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Θεωρία Κόμβων	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.classification	Knot Theory	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2024-03-21
heal.abstract	For millennia, people have been creating knots to deal with problems they encounter in their daily lives. There are numerous knots used for practical purposes by sailors and builders, as well as knots used for artistic or even spiritual significance, as shown below in this Celtic cross and mosaic pattern in Alhambra in Granada, Spain. But what is a mathematical knot? To begin with, a first descriptive approach will help the reader to understand the concept of a knot through personal experiences from everyday life. A knot can be represented as a thread, whose ends, after many crossings, come together. However, node theory is a large branch of mathematics, and so a rigorous mathematical definition of the concept is required.Specifically, a knot is the implantation of a circle in three-dimensional space. In this paper, we attempt to provide a comprehensive foundation of the basic concepts of knot theory and to develop further tools for deepening the problems of this particular area of mathematics. In particular, the major task that many scientists of the 19th, 20th and 21st centuries have undertaken and are still undertaking is the classification of 4 knots. For this purpose, they developed some mathematical algorithms to be able to overcome the difficulty of mathematical communication of a knot. They also developed some knot invariants which would be the necessary tools for their separation. In particular, a knot invariant is a function from the set of knots to some set of values , which has the property that topologically equivalent knots take the same value. This means that if an invariant gives different values to a pair of knots , then they are different. The problem of finding the absolute and complete invariant of the knots, which will mathematically classify them, is still open. In the following chapters, we will discuss in detail how knots are encoded. In particular, by Gauss, Alexander-Briggs, Dowker-Thistlethwaite and through braid theory. We will also see that knots are divided into three categories and we will go into four invariants: • p - colorability • Determinant • Unknotting number • Crossing number	en
heal.abstract	Εδώ και χιλιετίες, οι άνθρωποι δημιουργούν κόμβους για να αντιμετωπίσουν προβλήματα που συναντούν στην καθημερινότητά τους. Υπάρχουν πολυάριθμοι κόμβοι που χρησιμοποιούνται για πρακτικούς σκοπούς από ναυτικούς και οικοδόμους, καθώς και κόμβοι που χρησιμοποιούνται για καλλιτεχνική ή ακόμη και πνευματική σημασία, όπως φαίνεται παρακάτω σε αυτόν τον κέλτικο σταυρό και το μοτίβο ψηφιδωτού της Αλάμπρας στη Γρανάδα της Ισπανίας. Αλλά τι είναι ένας μαθηματικός κόμβος; Αρχικά, μία πρώτη περιγραφική προσέγγιση, θα βοηθήσει τον αναγνώστη να κατανοήσει την έννοια του κόμβου, μέσω προσωπικών του εμπειριών από την καθημερινότητα. ΄Ενας κόμβος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα νήμα, του οποίου τα άκρα, έπειτα από πολλές διασταυρώσεις ενώνονται. Ωστόσο, η θεωρία κόμβων αποτελεί μεγάλο κλάδο των μαθηματικών, και έτσι απαιτείται να δοθεί ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός για την συγκεκριμένη έννοια.Συγκεκριμένα ένας κόμβος είναι η εμφύτευση ενός κύκλου στον τρισδιάστατο χώρο. Στην παρούσα εργασία, γίνεται η προσπάθεια μιάς περιεκτικής θεμελίωσης των βασικών εννοιών της θεωρίας κόμβων, αλλά και η ανάπτυξη περεταίρω εργαλείων για εμβάθυνση στα προβλήματα που απασχολούν τον 2 συγκεκριμένο τομέα των μαθηματικών. Αναλυτικότερα, το μεγάλο εγχείρημα που πολλοί επιστήμονες του 19ου ,20ου και 21ου αιώνα είχαν και έχουν αναλάβει να φέρουν εις πέρας, είναι η ταξινόμηση των κόμβων. Για τον σκοπό αυτό, ανέπτύξαν κάποιους μαθηματικούς αλγορίθμους για να μπορούν να ξεπεράσουν την δυσκολία της μαθηματικής επικοινωνίας ενός κόμβου. Επίσης ανέπτυξαν κάποιες αναλλοίωτες κόμβων οι οποίες θα αποτελούσαν τα απαραίτητα εργαλεία για τον διαχωρισμό τους. Συγκεκριμένα, μια αναλλοίωτη κόμβων είναι μία συνάρτηση απο το σύνολο των κόμβων σε κάποιο σύνολο τιμών , η οποία έχει την ιδιότητα τοπολογικά ισοτοπικοί κόμβοι να παίρνουν την ίδια τιμή. Αυτό σημαίνει οτι αν μιά αναλλοίωτη δίνει διαφορετικές τιμές σε ένα ζευγάρι κόμβων , τότε αυτοί είναι διαφορετικοί. Το πρόβλημα εύρεσης της απόλυτης και πλήρους αναλλοίωτης των κόμβων, που θα τους ταξινομήσει μαθηματικά είναι ακόμη ανοιχτό. Στα κεφάλαια που ακολουθούνε, θα αναφερθούμε αναλυτικά σε τρόπους με τους οποίους κωδικοποιούνται οι κόμβοι,συγκεκριμένα κατά Gauss, Alexander-Briggs, Dowker-Thistlethwaite και μέσω της θεωρίας των πλεξίδων. Επίσης θα δούμε ότι οι κόμβοι χωρίζονται σε τρείς κατηγορίες και θα εμβαθύνουμε σε τέσσερις αναλλοίωτες : • p - χρωματισιμότητα • Ορίζουσα κόμβων • Αριθμός Λύσεως • Αριθμός Διασταυρώσεων	el
heal.advisorName	Lambropoulou, Sofia	en
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Lambropoulou, Sofia	en
heal.committeeMemberName	Kodokostas, Dimitrios	en
heal.committeeMemberName	Kontogeorgis, Aristides	en
heal.committeeMemberName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Κοντογεώργης, Αριστείδης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	73 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false