Αριθμητική Ανάλυση σε Προβλήματα Ταυτοποίησης Παραμέτρων

Παπαδόπουλος, Βασίλειος; Papadopoulos, Vassilis D.

dc.contributor.author	Παπαδόπουλος, Βασίλειος
dc.contributor.author	Papadopoulos, Vassilis D.
dc.date.accessioned	2025-01-17T07:39:36Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/60799
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.28495
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	αριθμητική ανάλυση, βέλτιστος έλεγχος με ΜΔΕ ως περιορισμούς, εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφάλματος, αντίστροφα προβλήματα, ταυτοποίηση παραμέτρου, συνοριακές συνθήκες Robin	el
dc.subject	numerical analysis, optimal control with PDE-constraints, a posteriori error analysis, inverse problems, parameter identification, Robin boundary conditions	en
dc.title	Αριθμητική Ανάλυση σε Προβλήματα Ταυτοποίησης Παραμέτρων	el
dc.title	Numerical analysis in parameter identification problems	en
heal.type	doctoralThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.dateAvailable	2026-01-16T22:00:00Z
heal.language	en
heal.access	embargo
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2024-07-23
heal.abstract	Η παρούσα διατριβή αφορά την απόδειξη αυστηρών \emph{εκ των υστέρων} εκτιμήσεων σφάλματος τύπου-υπολοίπου, για το αντίστροφο, \emph{διγραμμικό} πρόβλημα ταυτοποίησης παραμέτρου του συντελεστή Robin, με ελλειπτικές και παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις ως περιορισμούς. Με κίνητρο τα προβλήματα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζουμε, αρχικά αποδεικνύουμε \emph{εκ των υστέρων} εκτιμήσεις σφάλματος τύπου-υπολοίπου, σε μία τύπου $L^2$-νόρμα, για μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων, για ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, με συνοριακές συνθήκες Neumann ή Robin. Για να διασφαλιστεί η απόδειξη του κάτω φράγματος (αποτελεσματικότητα), χρησιμοποιείται μια μη τετριμμένη, εξαρτώμενη από το πλέγμα, τύπου $L^2$-νόρμα για το σφάλμα. Η απόδειξη του κάτω φράγματος απαιτεί μια προσεκτικά κατασκευασμένη συνάρτηση-'φυσαλίδα' ('bubble'-function), με $C^1$-συμμόρφωση. Παρουσιάζεται μια σειρά από εκτεταμένα αριθμητικά πειράματα, που επιδεικνύουν την καλή απόδοση των εκτιμητών. Ο κύριος στόχος είναι η απόδειξη \emph{εκ των υστέρων} εκτιμήσεων σφάλματος για το χρονικά σταθερό, αντίστροφο πρόβλημα ταυτοποίησης του συντελεστή Robin. Πιο συγκεκριμένα, με τη χρήση της συνθήκης βελτιστότητας δεύτερης τάξης, αρχικά αποδεικνύουμε εκτιμήσεις με άνω φράγμα στην $L^2$-νόρμα και αργότερα και στη συνέχεια εκτιμήσεις σφάλματος με άνω και κάτω φράγμα στην $H^1$-νόρμα, σε ένα πλήρως διακριτό σχήμα. Αποδεικνύουμε επίσης τις αντίστοιχες \emph{εκ των υστέρων} εκτιμήσεις σφάλματος στο πλαίσιο της μεταβολικής προσέγγισης και για το, λεγόμενο, ημιδιακριτό σχήμα, καταλήγοντας σε άνω και κάτω φράγμα στην $H^1$-νόρμα. Τέλος, αποδεικνύουμε \emph{εκ των υστέρων} εκτιμήσεις σφάλματος για το αντιστροφό πρόβλημα εκτίμησης του χωρικά-και-χρονικά εξαρτώμενου συντελεστή μεταφοράς θερμότητας. Εργαζόμαστε πάνω σε ένα πλήρως διακριτοποιημένο σχήμα βασισμένο στην ασυνεχή-στο χρόνο-μέθοδο Galerkin dG(0), με πεπερασμένα στοιχεία στο χώρο. Σχεδιάζουμε προσεκτικά ελλειπτικές και χρονικές ανακατασκευές για το πρωτεύον και το συζηγές πρόβλημα, προκειμένου να επιτύχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η κύρια πρόκληση στην απόδειξη των εκτιμητών είναι, και πάλι, η \emph{διγραμμική} φύση του προβλήματος, κατά την οποία πολλαπλασιάζεται ο έλεγχος (συντελεστής Robin) με τη μεταβλητή του πρωτεύοντος προβλήματος. Για να ξεπεραστεί αυτό, διατυπώνεται μια συνθήκη βελτιστότητας δεύτερης τάξης, προσφέροντας την απαιτούμενη ευστάθεια για την απόδειξη.	el
heal.abstract	This thesis is devoted to the derivation of rigorous residual-type \emph{a posteriori} error estimates for the Robin coefficient parameter identification \emph{bilinear} inverse problem subject to elliptic and parabolic partial differential equations as constraints. Motivated by the optimization problems at have, we first prove $L^2$-like norm residual-type \emph{a posteriori} error estimates for finite element methods for elliptic partial differential equations with non-essential boundary conditions, such as Neumann or Robin type. To ensure the proof of lower bounds (efficiency), a non-standard mesh-dependent $L^2$-like norm is used for the error. The proof of lower bounds requires a carefully constructed $C^1$-conforming 'bubble'-function. A series of extensive numerical experiments is presented, showcasing the good performance of the estimators. The main objective is the proof of \emph{a posteriori} error estimates for the stationary identification inverse problem of the Robin coefficient. More specifically, with the use of the second order sufficient condition, initially we prove estimates with upper bounds in $L^2$-norm and later on, we derive a \emph{a posteriori} error estimates with upper and lower bounds in $H^1$-norm, in a fully discrete scheme. We also prove the corresponding \emph{a posteriori} error estimates in the context of the variational approach and for a, so-called, semidiscrete scheme, resulting in upper and lower bounds in the $H^1$-norm. Finally, we prove an \emph{a posteriori} error estimate for the inverse problem of estimating the spatially-and-temporally dependent heat transfer coefficient. We work on a fully-discrete scheme based on the discontinuous-in time-Galerkin dG(0) framework and finite elements in space and we carefully design elliptic and time reconstructions for the discrete state and adjoint equation, to obtain the desirable result. The main challenge in the proof of the estimators is, again, the \emph{bilinear} nature of the problem, which multiplying the control (Robin coefficient) by the state variable. To circumvent this, a second order sufficient optimality condition is postulated, offering the required stability to facilitate the proof.	en
heal.advisorName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος
heal.advisorName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ Χ.
heal.advisorName	Chrysafinos, Konstantinos
heal.advisorName	Georgoulis, Emmanuil H.
heal.committeeMemberName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ Χ.
heal.committeeMemberName	Γκιντίδης, Δρόσος
heal.committeeMemberName	Κοκκίνης, Βασίλειος
heal.committeeMemberName	Κολέτσος, Ιωάννης
heal.committeeMemberName	Μακριδάκης, Χαράλαμπος
heal.committeeMemberName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος
heal.committeeMemberName	Pryer, Tristan
heal.academicPublisher	Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	false