Ορθογωνιότητα σε χώρους Hilbert

Abstract

Στην παράγραφο 1.1 γίνεται η εισαγωγή και δίνονται οι ορισμοί και οι βασικές ιδιότητες των διανυσματικών χώρων. Στην παράγραφο 1.2 παρουσιάζονται οι ορισμοί των χώρων με εσωτερικό γινόμενο καθώς και της νόρμας σε χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Επίσης γίνεται αναφορά των βασικών θεωρημάτων των χώρων εσωτερικού γινομένου. Στην παράγραφο 1.3 δίνεται ο ορισμός και μία σειρά βασικών παραδειγμάτων χώρων \textlatin{Hilbert}. Επίσης, παρουσιάζεται ο ορισμός της ασθενούς και της ισχυρής σύγκλισης σε συνδιασμό με έναν αριθμό βασικών θεωρημάτων που στηρίζονται σε αυτές. Στην παράγραφο 2.1 δίνονται οι ορισμοί των ορθογώνιων και των ορθοκανονικών συστημάτων, της ορθοκανονικής ακολουθίας καθώς και ένα πλήθος παραδειγμάτων τους. Στη συνέχεια, περιγράφεται η μέθοδος ορθοκανονικοποίησης \textlatin{Gram-Schmidt}. Στην παράγραφο 2.2 παρατίθενται οι ορισμοί της πλήρους ορθοκανονικής ακολουθίας και της ορθοκανονικής βάσης. Δίνεται ο τύπος του \textlatin{Parseval}, η ισότητα και η ανισότητα του \textlatin{Bessel}, καθώς επίσης οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις \textlatin{Walsh}. Στην συνέχεια, δίνονται οι ορισμοί των διαχωρίσιμων χώρων και των ισομορφικών χώρων \textlatin{Hilbert} μαζί με μία σειρά θεωρημάτων και παραδειγμάτων που σχετίζονται με αυτούς. Στην παράγραφο 2.3 δίνεται ο ορισμός των αθροιστικών πυρήνων και τα σχετικά θεωρήματα καθώς επίσης ο ορισμός των σειρών \textlatin{Fourier} και ο τρόπος που προκύπτουν. Στην παράγραφο 2.4 παρουσιάζονται οι ορισμοί του ορθογώνιου συμπληρώματος και των κυρτών συνόλων. Γίνεται αναφορά στην ιδιότητα του οριακού σημείου καθώς και στα θεωρήματα προβολής. Η παράγραφος 2.5 αναφέρεται στα γραμμικά συναρτησιακά, καθώς και στο θεώρημα απεικόνισης του \textlatin{Riesz}. Στην παράγραφο 3.1 γίνεται η εισαγωγή στην έννοια των φραγμένων γραμμικών τελεστών. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα. Στην παράγραφο 3.2 παρουσιάζονται τα διγραμμικά συναρτησιακά και οι τετραγωνικές μορφές. Ακόμη αποδεικνύεται το θεώρημα \textlatin{Lax-Milgram}, το οποίο είναι μια σημαντική γενίκευση του Θεωρήματος \textlatin{Riesz.} Στην παράγραφο 3.3 εξετάζονται σημαντικές κατηγορίες των φραγμένων γραμμικών τελεστών σε χώρους {Hilbert}, οι λεγόμενοι συζυγείς και αυτοσυζυγείς τελεστές. Στην παράγραφο 3.4 παρουσιάζονται ειδικοί γραμμικοί τελεστές: οι αντιστρέψιμοι, οι κανονικοί, οι ισομετρικοί και οι ορθομοναδιαίοι. Η παράγραφος 3.5 αφιερώνεται σε έναν σημαντικό τελεστή πανω στον $L2$: το μετασχηματισμό Fourier

• In paragraph 1.1 the definitions and the basic properties of vector spaces are presented. • In paragraph 1.2 the definitions of inner product spaces as well as norms in inner product spaces are given. • In paragraph 1.3 the definition and a series of basic examples of Hilbert spaces are given. Also, the definition of strong and weak converage is presented in combination to a number of basic theorems based on them. • In paragraph 2.1 the definitions of orthogonal and orthonormal systems, the definition of orthonormal sequence are given, as well as a number of examples. The GramSchmidt othonormalization process is described. • In paragraph 2.2 the definitions of complete orthonormal sequence and othonormal basis are given. The Parseval’s formula, the Bessel’s equality and inequality are given as well as the Rademacher functions and Walsh functions. Also, the definitions of seperable spaces and isomorphic Hilbert spaces are given in combination to a number of theorems related to them. • In paragraph 2.3 the definition of summability kernel is given as well as the related theorems. Also, the definition of Fourier series and the method with wich these series are produced. • In paragraph 2.4 the definition of orthogonal complement and convex sets are presented. The closest point property and the orthogonal complements and projections are introduced. • In paragraph 2.5 linear functonal and the Riesz representation theorem are presented. • In paragraph 3.1 linear Operators are introduced. Definitions and examples are given. • In paragraph 3.2 bilinear functionals and quadratic forms are presented. Also, the LaxMilgram theorem is proved. • In paragraph 3.3 definitions of Adjoint and selfadjoint Operators are given as well as examples of them. • In paragraph 3.4 special linear Operators are presented: Invertible, Normal, Isometric and Uitary Operators. • In paragraph 3.5 the Fourier Transform is presented.