Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων και νευρωνικά δίκτυα

Χριστόπουλος, Μάριος Τρύφων; Christopoulos, Marios Tryfon

dc.contributor.author	Χριστόπουλος, Μάριος Τρύφων	el
dc.contributor.author	Christopoulos, Marios Tryfon	en
dc.date.accessioned	2025-08-29T10:15:16Z
dc.date.available	2025-08-29T10:15:16Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/62251
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.29947
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Τεχνητή Νοημοσύνη	el
dc.subject	Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων	el
dc.subject	Μηχανική Μάθηση	el
dc.subject	Αριθμητική Ανάλυση	el
dc.subject	Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις	el
dc.title	Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων και νευρωνικά δίκτυα	el
heal.type	masterThesis
heal.secondaryTitle	Finite Element Method and Neural Networks	en
heal.classification	Μαθηματικά, Τεχνητή Νοημοσύνη	el
heal.language	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2025-02-24
heal.abstract	Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) έχουν καθοριστικό ρόλο στη μοντελοποίηση διάφορων φυσικών φαινομένων σε πολλά επιστημονικά πεδία και τη μηχανική. Σε πολλές περιπτώσεις επειδή δεν είναι εφικτό να έχουμε αναλυτικές λύσεις των ΜΔΕ, χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για να τις προσεγγίσουμε. Μια από αυτές τις μεθόδους είναι η Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) η οποία είναι αποτελεσματική σε ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών. Η επιτυχία των νευρωνικών δικτύων στην επιστήμη δεδομένων, σε συνδυασμό με τη ραγδαία πρόοδο της τεχνητής νοημοσύνης, έχει παρακινήσει πολλούς ερευνητές να εξερευνήσουν την εφαρμογή τους στην προσέγγιση λύσεων ΜΔΕ. Στη παρούσα διπλωματική εργασία εξετάζουμε την αποτελεσματικότητα που έχει η χρήση νευρωνικών δικτύων σε συνδυασμό με ιδέες από τη Μέθοδο Πεπερασμένων Στοιχείων στην προσέγγιση λύσεων ελλειπτικών ΜΔΕ χαμηλών διαστάσεων. Βασικός μας στόχος είναι η επίλυση υπαρχόντων προβλημάτων που εμφανίζονται στη βιβλιογραφία, όπως είναι η σταθερότητα και η συνέπεια της βελτιστοποίησης, η ενσωμάτωση της συνοριακής συνθήκης στον αλγόριθμο βελτιστοποίησης και η επιλογή κατάλληλης συνάρτησης κόστους. Αρχικά παρουσιάζουμε βασικά αποτελέσματα από τη θεωρία των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων, της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων και των Νευρωνικών Δικτύων. Στη συνέχεια εξετάζουμε ένα βέλτιστο μοντέλο νευρωνικών δικτύων που εξαρτάται από το πλέγμα της εκάστοτε ΜΔΕ και ονομάζεται "Finite Element Interpolated Neural Network"(FEINN)το οποίο στοχεύει να αντιμετωπίσει τα προβλήματα που εμφανίζονται στη βιβλιογραφία και προσπαθεί να λύσει ευθέα και αντίστροφα προβλήματα ΜΔΕ με Fully Connected Feed Forward Neural Network (FCFF). ΄Επειτα εξετάζουμε ένα βέλτιστο μοντέλο νευρωνικών δικτύων που δεν εξαρτάται από κάποιο πλέγμα και ονομάζεται "Deep Galerkin Method" (DGM) το οποίο χρησιμοποιεί ένα Αναδρομικό Νευρωνικό Δίκτυο (RNN) για την επίλυση υψηλής διάστατης ΜΔΕ. Μετά από πειραματισμό με τις παραπάνω μεθόδους, παρατηρήσαμε ότι η αρχιτεκτονική του μοντέλου (DGM) είναι πιο αποτελεσματική στο να προσεγγίσει λεπτομερώς τη λύση της ΜΔΕ, έναντι της αρχιτεκτονικής του μοντέλου (FEINN), το οποίο δεν είναι αποτελεσματικό όταν η λύση της ΜΔΕ παρουσιάζει έντονη μη-γραμμική συμπεριφορά. Προτείνουμε μια νέα μεθοδολογία που εξαρτάται από το πλέγμα της ΜΔΕ και ονομάζεται "Mesh Dependent Finite Element Neural Network "(MDFENN) για την προσέγγιση ΜΔΕ χαμηλών διαστάσεων με χρήση κατάλληλης συνάρτησης κόστους στην οποία χρησιμοποιούμε L2 regularization. Αξιολογούμε την αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης μεθόδου προσεγγίζοντας τις λύσεις της εξίσωσης Poisson με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet για τρία διαφορετικά επίπεδα πυκνότητας του πλέγματος και για τρείς διαφορετικές κατασκευασμένες λύσεις όπου κάθε ακριβής λύση παρουσιάζει διαφορετική μη γραμμική συμπεριφορά. Η ακρίβεια της προτεινόμενης μεθόδου επαληθεύεται υπολογίζοντας τη διαφορά της προσσέγγισης από την ακριβή λύση χρησιμοποιώντας τις νόρμες L2 και H1	el
heal.advisorName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ	el
heal.committeeMemberName	Στάμου, Γιώργος	el
heal.committeeMemberName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ	el
heal.committeeMemberName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	75 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false