Τοπολογία Δυναμικών Συστημάτων

Δροσογιάννης, Γεώργιος; Drosogiannis, Georgios

dc.contributor.author	Δροσογιάννης, Γεώργιος	el
dc.contributor.author	Drosogiannis, Georgios	en
dc.date.accessioned	2025-10-16T07:06:59Z
dc.date.available	2025-10-16T07:06:59Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/62724
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.30420
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Δυναμικά Συστήματα	el
dc.subject	Τοπολογία	el
dc.subject	Πολλαπλότητα	el
dc.subject	Αρμονικός Ταλαντωτής	el
dc.subject	Χαμιλτονιανή	en
dc.subject	Chua	en
dc.subject	Lotka - Volterra	en
dc.subject	Samardzija – Greller	en
dc.subject	Hopf Fibration	el
dc.subject	Χαμιλτονιανή	el
dc.subject	Manifold	en
dc.title	Τοπολογία Δυναμικών Συστημάτων	el
dc.contributor.department	Τομέας Μαθηματικών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.secondaryTitle	Topology of Dynamical Systems	el
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2024-07-31
heal.abstract	Τα δυναμικά συστήματα παίζουν σημαντικό ρόλο στην κατανόηση πολύπλοκων φυσικών, βιολογικών και κοινωνικών φαινομένων, καθώς παρέχουν ένα πλαίσιο για την ανάλυση της συμπεριφοράς των συστημάτων με την πάροδο του χρόνου. Στη διπλωματική αυτή, εξετάζουμε έννοιες και εφαρμογές δυναμικών συστημάτων με έμφαση στην τοπολογία που εμφανίζουν, όταν απεικονίσουμε τις λύσεις τους στον χώρο των φάσεων. Αρχικά θα γίνει μία εισαγωγή στις βασικές και απαραίτητες έννοιες της τοπολογίας. Πιο συγκεκριμένα γίνεται μία εισαγωγή στην έννοια του τοπολογικού χώρου, της πολλαπλότητας καθώς και μία παρουσίαση παραδειγμάτων πολλαπλοτήτων. Επίσης, πραγματοποιείται ανάλυση της στερεογραφικής προβολής και της Ίνωσης Hopf (Hopf Fibration). Στη συνέχεια η εργασία θα επικεντρωθεί στα συστήματα Lotka - Volterra, τα οποία αποτελούν ένα κλασικό μοντέλο για την περιγραφή της δυναμικής των βιολογικών πληθυσμών. Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε παραδείγματα συντηρητικών συστημάτων Lotka - Volterra δύο και τριών διαστάσεων, θα ορίσουμε και θα υπολογίσουμε την Χαμιλτονιανή τους και θα αναλύσουμε την τοπολογία των λύσεων των συστημάτων στον χώρο των φάσεων. Ένα σημαντικό κεφάλαιο της εργασίας αφορά τον αρμονικό ταλαντωτή, ο οποίος αποτελεί ένα θεμελιώδες παράδειγμα δυναμικού συστήματος. Σε αυτή την ενότητα, θα αναλύσουμε την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή, την ενέργεια του συστήματος και τις ολοκληρώσιμες Χαμιλτονιανές. Επίσης θα παρουσιάσουμε την οπτικοποίηση του απλού αρμονικού ταλαντωτή δύο βαθμών ελευθερίας, καθώς και θα δούμε μία ενδιαφέρουσα σύνδεση του γραφήματος των λύσεών του με την πολλαπλότητα S3. Στο επόμενο κεφάλαιο εξετάζεται μία ειδική περίπτωση ενός μοντέλου Lotka - Volterra, το χαοτικό σύστημα των Samardzija – Greller, το οποίο παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά και οι τροχιές των λύσεών του εμφανίζουν διαφορετική δομή με την αλλαγή των παραμέτρων του συστήματος. Τέλος, θα μελετήσουμε το δυναμικό σύστημα Chua, το οποίο είναι άλλο ένα παράδειγμα ενός συστήματος χαοτικής συμπεριφοράς. Θα δούμε την οπτικοποίηση των λύσεών του, τον ελκυστή που δημιουργείται, καθώς και τη μεγάλη ποικιλία κόμπων και κρίκων που παρουσιάζει.	el
heal.abstract	Abstract In this thesis, we examine concepts and applications of dynamical sys- tems with an emphasis on the topology they exhibit when we represent their solutions in phase space. Dynamical systems play an important role in under- standing complex physical, biological, and social phenomena, as they provide a framework for analyzing the behavior of systems over time. Initially, an introduction to the basic and necessary concepts of topology will be provided. More specifically, there will be an introduction to the concept of topological space, to manifolds, and examples of manifolds will be presented. There will also be an analysis of stereographic projection and the Hopf fibration. Subsequently, the work will focus on Lotka-Volterra systems, which are a classical model for describing the dynamics of biological populations. We present examples of conservative Lotka-Volterra systems, both in two and three dimensions, calculate their Hamiltonian, and discuss the topology of their solutions in phase space. An important chapter of this work concerns the harmonic oscillator, which is a fundamental example of a dynamical system. We analyze the equation of the harmonic oscillator, the energy of the system, and the integrable Hamil- tonians. We also present the visualization of a simple harmonic oscillator with two degrees of freedom, as well as its connection to the S3 manifold. In the next chapter, the chaotic Lotka-Volterra system of Samardzija–Greller is examined, which is a special case of this type of model, presenting chaotic behavior. The trajectories of its solutions exhibit structural changes upon altering the system’s parameters. Finally, we will study the Chua dynamical system, which is another ex- ample of a system exhibiting chaotic behavior. We will examine its solutions,its attractor, and the variety of knots and links they present.	en
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος
heal.committeeMemberName	Ρόθος, Βασίλειος
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	102
heal.fullTextAvailability	false