Αριθμητικό πεδίο και θεωρήματα απεικόνισης τελεστή

Λέκκας, Γεώργιος Αλέξανδρος; Lekkas, Georgios Alexandros

dc.contributor.author	Λέκκας, Γεώργιος Αλέξανδρος	el
dc.contributor.author	Lekkas, Georgios Alexandros	en
dc.date.accessioned	2025-11-13T06:52:32Z
dc.date.available	2025-11-13T06:52:32Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/62854
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.30550
dc.rights	Default License
dc.subject	Αριθμητικό πεδίο τελεστή	el
dc.subject	Απεικόνιση αριθμητικού πεδίου τελεστή	el
dc.subject	Συνημίτονο τελεστή	el
dc.subject	Αντι-ιδιοτιμή τελεστή	el
dc.subject	Τριγονομετρία τελεστή	el
dc.subject	Numerical range of an operator	en
dc.subject	Cosine of an operator	en
dc.subject	Operator trigonometry	en
dc.subject	Mapping of the numerical range of an operator	en
dc.subject	Antieigenvalue	en
dc.title	Αριθμητικό πεδίο και θεωρήματα απεικόνισης τελεστή	el
dc.title	Numerical range and mapping theorems of an operator.	en
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Αριθμητικό πεδίο τελεστή.	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2025-03-06
heal.abstract	Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι να παρουσιαστεί η βασική ιδέα του αριθμητικού πεδίου, να οριστούν τα βασικά μεγέθη, τα απαιτούμενα εργαλεία και το κυριότερο, να εμβαθύνουμε σε θεωρήματα απεικόνισης. Το αριθμητικό πεδίο ή αλλιώς πεδίο των τιμών ενός τελεστή, είναι ένα σύνολο στο μιγαδικό επίπεδο, που αντιστοιχεί σε έναν τελεστή. Όπως είναι φυσικό για να κατανοήσει κανείς την παρούσα διπλωματική εργασία θα πρέπει να είναι εξοικειωμένος με μαθηματικές θεωρίες όπως η Συναρτησιακή Ανάλυση, η Θεωρία Τελεστών, Μιγαδική Ανάλυση και άλλες θεωρίες σε παρεμφερή πεδία της επιστήμης. Στο πρώτο κεφάλαιο, βλέπουμε τις εισαγωγικές έννοιες. Δύο πολύ σημαντικές είναι το φάσμα και η αριθμητική ακτίνα. Αυτές τις έννοιες θα τις συναντούμε συνεχώς και στα επόμενα κεφάλαια της εργασίας. Εκτός από τις εισαγωγικές έννοιες θα μελετηθούν και μερικά βασικά θεωρήματα για το αριθμητικό πεδίο και τα υπόλοιπα σημαντικά μεγέθη. Τα πορίσματα των θεωρημάτων αυτών, θα αποτελέσουν βάση της εργασίας, καθώς θα θεωρούνται ως δεδομένα στα επόμενα κεφάλαια. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η κυρτότητα του αριθμητικού πεδίου. Στο δεύτερο κεφάλαιο, εμβαθύνουμε κατά κύριο λόγο σε θεωρήματα απεικόνισης. Θα εξεταστεί εκτενέστερα, το πως, τα μεγέθη που ορίστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο σχετίζονται με την απεικόνιση του αριθμητικού πεδίου σε διάφορες περιπτώσεις. Επίσης θα μελετήσουμε τον τρόπο με τον οποίο, έννοιες από την μιγαδική ανάλυση, όπως η ολομορφία μιας μιγαδικής συνάρτησης, μπορούν να αποτελέσουν προϋπόθεση για την εξαγωγή συμπερασμάτων του αριθμητικού πεδίου του τελεστή $f(T)$. Μια κατηγορία τελεστών που παίζει ιδιαίτερο ρόλο και θα μελετήσουμε σε ικανοποιητικό βαθμό, είναι οι αντιμεταθετικοί τελεστές (ΑΒ=ΒΑ). Πλήθος θεωρημάτων που έχουν ως υπόθεση τέτοιας μορφής τελεστές, θα τεκμηριώσουν καλύτερα τη θεωρία. Στο τέλος του κεφαλαίου θα αναφερθούμε στη θεωρία διαστολής. Αυτό θα γίνει από την οπτική γωνία των τελεστών πεπερασμένης διάστασης, δηλαδή πινάκων. Στόχος του επόμενου κεφαλαίου είναι η απόδειξη της σύνδεσης των τριγωνομετρικών σχέσεων με την έννοια του αριθμητικού πεδίου. Αρχικά ορίζοντας το συνημίτονο του τελεστή, ταυτόχρονα ορίζουμε και τα υπόλοιπα τριγωνομετρικά μεγέθη. Δύο μεγέθη από τα οποία θα εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα είναι η γωνία του τελεστή καθώς και το ημίτονο. Μέσα από τις σχέσεις που προκύπτουν θα φανερωθεί στον αναγνώστη η αξία της θεώρησης της τριγωνομετρίας του τελεστή. Σε αυτό συμβάλει ακόμη περισσότερο η μελέτη μίας άλλης οπτικής, αυτή της αντι-ιδιοτιμής του τελεστή. Η ιδέα αυτή αναφέρεται σε τελεστές πεπερασμένης διάστασης, όπως και τα περισσότερα παραδείγματα. Όλες οι απεικονίσεις στα σχήματα θα πραγματοποιηθούν με το λογισμικό Matlab	el
heal.abstract	The purpose of this thesis is to present the fundamental concept of the numerical range, define the key quantities and necessary tools, and most importantly, delve into mapping theorems. The numerical range, also known as the field of values of an operator, is a set in the complex plane that corresponds to an operator. Naturally, in order to comprehend this thesis, one must be familiar with mathematical theories such as Functional Analysis, Operator Theory, Complex Analysis, and other related fields of science. In the first chapter, we introduce the fundamental concepts. Two particularly important notions are the spectrum and the numerical radius. These concepts will be encountered repeatedly in the following chapters. In addition to these introductory notions, some fundamental theorems concerning the numerical range and other significant quantities will be examined. The conclusions derived from these theorems will serve as the foundation of this thesis, as they will be considered given in the subsequent chapters. A characteristic example is the convexity of the numerical range. In the second chapter, we primarily focus on mapping theorems. We will thoroughly examine how the quantities defined in the previous chapter relate to the mapping of the numerical range in various cases. Additionally, we will study how concepts from complex analysis, such as the holomorphy of a complex function, can serve as prerequisites for deriving conclusions about the numerical range of the operator $f(T).$ One particular category of operators that plays a crucial role and will be studied in sufficient depth is the class of commuting operators (AB=BA). Several theorems that assume such operators will better substantiate the theory. At the end of the chapter, we will discuss dilation theory, approached from the perspective of finite-dimensional operators, namely matrices. The objective of the next chapter is to prove the connection between trigonometric relationships and the concept of the numerical range. Initially, by defining the cosine of an operator, we simultaneously define the remaining trigonometric quantities. Two key quantities from which we will derive important conclusions are the angle of the operator and the sine function. Through the resulting relationships, the reader will realize the significance of considering the trigonometry of the operator. This will be further reinforced by exploring another perspective—the anti-eigenvalue of the operator. This idea is considered in the context of finite-dimensional operators, as is the case with most examples. All graphical representations will be generated using MATLAB software.	en
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Γρηγοριάδης, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	86 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false