Προσομοίωση ροής με τη μέθοδο lattice-Boltzmann

Abstract

Το πρώτο μέρος της παρούσας διατριβής αφορά τη μελέτη προβλημάτων μονοφασικής ροής. Αρχικά μελετήσαμε το πρόβλημα της ροής σε κοιλότητα (lid–driven cavity) για να αξιολογήσουμε την ακρίβεια του υπολογιστικού μας κώδικα. Συγκρίναμε τα αποτελέσματα του κώδικα μας με αυτά των Gia et. al. (τα οποία θεωρούνται από την βιβλιογραφία ιδιαίτερα αξιόπιστα) και διαπιστώσαμε απόλυτη συμφωνία μεταξύ τους.Κατόπιν αυτού μελετήσαμε την τριδιάστατη ροή νευτωνικών ρευστών σε πορώδη μέσα, με απώτερο στόχο να εκτιμήσουμε την διαπερατότητα του πορώδους μέσου, με χρήση του μοντέλου LBGK. Εξετάσαμε ενδελεχώς την επίδραση των παραμέτρων της προσομοίωσης στην εκτιμώμενη διαπερατότητα και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι η μοναδική παράμετρος που ουσιαστικά την επηρεάζει είναι ο αδιάστατος χρόνος χαλάρωσης. Κατόπιν αυτής της διαπίστωσης προσομοιώσαμε το ίδιο πρόβλημα με χρήση του μοντέλου δύο χρόνων χαλάρωσης (TRT), και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι σ’ αυτό η επίδραση του αδιάστατου χρόνου χαλάρωσης είναι πρακτικά αμελητέα. Έχοντας υπόψη αυτά τα συμπεράσματα χρησιμοποιήσαμε τα μοντέλα LBGK και TRT για την εκτίμηση της διαπερατότητας δυο διαφορετικών πορωδών υλικών, συγκεκριμένα του αμμόλιθου και της κιμωλίας Βόρειας Θάλασσας. Η προσομοίωση εκτελέστηκε σε ψηφιακά ανακατασκευασμένα δείγματα των δυο υλικών και η εκτίμηση της διαπερατότητας τους βρέθηκε σε ικανοποιητική συμφωνία με τις πειραματικές τιμές που αναφέρονται στην βιβλιογραφία. Τέλος, εξετάσαμε τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου lattice–Boltzmann σε χαμηλά πορώδη, κοντά στο κατώφλι διαγωγιμότητας (percolation threshold). Διαπιστώσαμε ότι η μέθοδος αναπαράγει ορθά τα συμπεράσματα της θεωρίας διαγωγιμότητας μέχρι κάποια τιμή πορώδους, αλλά αποτυγχάνει να αναπαράγει το μηδενισμό της διαπερατότητας στο κατώφλι διαγωγιμότητας. Απ’ όσο είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε η μελέτη αυτή παρουσιάζεται για πρώτη φορά στην βιβλιογραφία.Εν συνεχεία μελετήσαμε τη ροή μη νευτωνικών ρευστών, εστιάζοντας σε μη νευτωνικά ρευστά που ακολουθούν τη συμπεριφορά του μοντέλου Ostwald–de Wale, δοθέντος ότι αυτό αποτελεί το συχνότερα εφαρμοζόμενο για την περιγραφή της μη νευτωνικής συμπεριφοράς. Η επιλογή αυτή είναι τυπική, στην έννοια ότι ο κώδικας μας μπορεί άμεσα να προσαρμοσθεί σε οποιοδήποτε μη νευτωνικό ρευστό (δοθείσας της συναρτησιακής σχέσης εξάρτησης του φαινόμενου ιξώδους από το ρυθμό διάτμησης). Για την προσομοίωση χρησιμοποιήσαμε ένα τροποποιημένο σχήμα του μοντέλου LBGK, με το οποίο μπορέσαμε να προσομοιώσουμε με επιτυχία τη ροή κυρίως ψευδοπλαστικών ρευστών (δείκτης ρεολογικής συμπεριφοράς μικρότερος της μονάδας), τα οποία αποτελούν και τα συνηθέστερα εμφανιζόμενα, στις δυο και τρείς διαστάσεις. Η προσομοίωση της ροής θιξοτροπικών ρευστών (δείκτης ρεολογικής συμπεριφοράς μεγαλύτερος της μονάδας) είναι αρκετά δυσχερής και ο κώδικας μας συνέκλινε μόνο για σχετικά μικρό εύρος τιμών του δείκτη ρεολογικής συμπεριφοράς. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής μελετήσαμε περιπτώσεις διφασικής ροής σε πορώδη μέσα στις δυο και τρείς διαστάσεις. Επιλέξαμε να εφαρμόσουμε το μοντέλο των Shan και Chen (με χρήση κυβικής καταστατικής εξίσωσης) αφενός γιατί αποτελεί ένα από τα πιο επιτυχημένα μοντέλα διφασικής ροής στο χώρο της μεθόδου lattice–Boltzmann, αλλά και επιπλέον επειδή αναπαράγει ορθά τη θερμοδυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Βασικό μας στόχο σε αυτή τη μελέτη υπήρξε η εκτίμηση της σχετικής διαπερατότητας των δυο φάσεων συναρτήσει του βαθμού κορεσμού της διαβρέχουσας φάσης. Παρατηρήσαμε την εμφάνιση σχετικών διαπερατοτήτων μεγαλύτερων της μονάδας στην περίπτωση όπου η λιγότερο ιξώδης φάση διαβρέχει την πορώδη μήτρα, φαινόμενο το οποίο έχει παρατηρηθεί και πειραματικά («φαινόμενο λίπανσης»). Ένα άλλο βασικό συμπέρασμα για ροές τέτοιου τύπου είναι ότι όταν το φαινόμενο λίπανσης δεν εμφανίζεται η γωνία επαφής επηρεάζει ισχυρά τη ροή της μη διαβρέχουσας φάσης, ενώ η ροή της διαβρέχουσας φάσης πρακτικά παραμένει ανεπηρέαστη.

The first part of this thesis is dedicated to single–phase flow problems. The problem of lid driven cavity was initially studied, in order to evaluate the accuracy of our code. The results was compared with these of Gia et. al. (that are considered particularly reliable on the literature) and it was found to be in excellent agreement. Then the three dimensional flow of Newtonian fluids in porous media was studied, in order to estimate the permeability of the porous medium, using LBGK model. The impact of all simulation parameters to permeability estimation was considered and it was concluded that the parameter that mostly affects is the dimensionless relaxation time. Based on this the LBGK and TRT models was utilized in order to estimate the permeability of two porous materials, sandstone and of North Sea chalk. Digitally reconstructed samples of the materials were used for the lattice–Boltzmann simulation. The estimated permeability was found to be in good agreement with the experimental values of the permeability reported in the literature for these porous media. Finally, the applicability of the lattice Boltzmann method to very low porosities, near the percolation threshold was tested. It was concluded that the method reproduces correctly the percolation’s theory prediction for up to some porosity value, but fails to predict the vanishing of permeability at the percolation threshold. To the best of our knowledge, this is the first study in the cited literature on this subject. Next, the flow of non Newtonian fluids was considered, particularly these obeying Ostwald–de Wale model, due to fact that it is the most widely used model for non–Newtonian behavior. It is important to note that our code is easily extensible for any kind non–Newtonian fluid given the apparent viscosity–shear rate analytic relation. For this simulation a modification of LBGK model was utilized and successfully simulated primary shear thinning fluids (flow behavior index less that unit) that are the most commonly found, in two and three dimensional geometries. The simulation of shear thickening fluids (flow behavior index greater that unit) is more difficult to be contacted and our code converged only for relatively small range of values of the flow behavior index. The second part of this thesis is dedicated to two–phase flow problems on porous media in two and three dimensions. The Shan and Chen model with the use of cubic equation of state (eos) was choosen, because it is one of the most successes in the LBM field. In addition because it uses the eos it correctly reproduces the thermodynamic behavior of the system. The primary target was to estimate the relative permeabilities of the two phases as a function of wetting saturation. It was noticed that the relative permeability can exceed unit, when the less viscous phase is the wetting phase. This phenomenon has been experimentally verified and it is known as “lubrication effect”. Another main conclusion for such a type of flows is that when the lubrication effect is not taking place the contact angle affects strongly the flow of non wetting phase, but the flow of the wetting phase is practically unaffected.