Οι Πρώτοι Αριθμοί

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται οι πρώτοι αριθμοί. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια μικρή ιστορική αναδρομή, στην οποία φαίνεται ο ορισμός των πρώτων αριθμών, ως τους αριθμούς που έχουν μοναδικούς διαιρέτες την μονάδα και τον εαυτό τους, οι κυριότερες χρήσεις τους καθώς και το πότε ξεκίνησε η ενασχόληση των μαθηματικών με αυτούς και γιατί παρουσιάζουν τόσο ενδιαφέρον. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά οι μεγάλοι μαθηματικοί που μελέτησαν τους πρώτους αριθμούς όπως: Ευκλείδης, Ερατοσθένης, Pierre de Fermat, Marin Mersenne. Παρατίθενται τα σημαντικότερα θεωρήματα, οι σημαντικότερες αποδείξεις και οι σημαντικότερες παρατηρήσεις που έχουν γίνει ως προς τους πρώτους αριθμούς από την αρχαιότητα μέχρι τα νεότερα χρόνια. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι (6 αποδείξεις), διατυπ'ωνεται και αποδεικνύεται το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής, ορίζονται και μελετώνται οι πρώτοι αριθμοί του Fermat και οι αριθμοί Mersenne. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάται η προσπάθεια εύρεσης ενός τύπου που να μπορεί να παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς. Μέσα από την προσπάθεια αυτή υπήρξαν σημαντικές ανακαλύψεις και συμπεράσματα τα οποία και καταγράφονται. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρονται κάποια προβλήματα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς, τα οποία είναι άλυτα ως τις μέρες μας. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε δύο από αυτά που έχουν απασχολήσει περισσότερο τους μαθηματικούς, στην Εικασία του Goldbach και το θέμα της απειρίας των δίδυμων πρώτων αριθμών. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, περιγράφεται σύντομα η ομορφιά που διέπει τη Θεωρία Αριθμών, η οποία είναι και ο λόγος που οι επιστήμονες ενασχολήθηκαν και θα συνεχίσουν να ασχολούνται με την μελέτη της. Κλείνοντας θα ήθελα να ευχαριστήσω ισδιαίτερα την επιβλέπουσα αυτής της διπλωματικής εργασίας κ. Σοφία Λαμπροπούλου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Ε.Μ.Π., για την καθοδήγηση, τις συμβουλές, την υπομονή και το χρόνο που μου προσέφερε και να τονίσω πως χωρίς την συμβολή της δεν θα ήταν δυνατή η άρτια ολοκλήρωση αυτής της εργασίας. Επίσης θέλω να ευχαριστήσω και τα άλλα μέλη της τριμελούε εξεταστικής επιτροπής: τον κ. Κοντογεώργη Αριστείδη, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών Ε.Κ.Π.Α. και τον κ. Αραγεώργη Αριστείδη, Επίκουρο Καθηγητή του Τομέα ΑΚΕΔ της Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. του Ε.Μ.Π.

The subject of this diploma thesis is the prime numbers. Specifically, in the first chapter we present a brief history, in which appears the definition of prime numbers, their main uses, when they started to concern the mathematicians, and why they are so interesting. In the second chapter we present all the great matthematicians who studied the prime numbers, such asQ Euclid, Eratosthenes, Pierre de Fermat and Marin Mersenne. We then refer to the most important theorems, the most important proofs and the most important observations made, from antiquity to modern times. More precisely, it is shown that the prime numbers are infinite (6 proofs), the Fundamental Theorem of Arithmetics is stated and proved and the Fermat numbers and Mersenne numbers are defined and studied. In the third chapter we study the attempt of the mathematicians to find a formula that produces all prime numbers. Through this effort there have been significant discoveries and conclusions which are recorded. In the fourth chapter some problems about prime numbers, which are unsolved until today, are presented. Particular emphasis is given to two of them which have occupied many mathematicians: the Goldbach conjecture and the infinity of twin prime numbers. Finally, in the fifth chapter we briefly describe the beauty of number theory which is why mathematicians have studied it in the past and will continue to study forever.