Ανάπτυξη μεθοδολογίας ψευδοσυμπιεστότητας για την πρόλεξη μη μόνιμων τρισδιάστατων αεροδυναμικών ροών

Abstract

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη μίας αριθμητικής μεθοδολογίας ψευδοσυμπιεστότητας για την πρόλεξη μη μόνιμων τρισδιάστατων αεροδυναμικών ροών. Πρόκειται για μία μεθοδολογία επίλυσης των εξισώσεων ασυμπίεστου ρευστού σε υβριδικά μη δομημένα πλέγματα με χρήση μοντέλων τύρβης τύπου RANS. Γίνεται επίσης χρήση παράλληλης επεξεργασίας με σκοπό την επιτάχυνση της σύγκλισης. Πιο αναλυτικά, χρησιμοποιούνται οι κατά Reynolds ολοκληρωμένες εξισώσεις Navier-Stokes για ασυμπίεστο ρευστό, ενώ για τη μοντελοποίηση των τάσεων Reynolds χρησιμοποιείται η υπόθεση Boussinesq με την εισαγωγή της τυρβώδους συνεκτικότητας. Για τον υπολογισμό της τυρβώδους συνεκτικότητας χρησιμοποιούνται τα μοντέλα τύρβης Spalart-Allmaras, k-ω-TNT και k-ω-SST. Οι εξισώσεις διακριτοποιούνται με ένα συντηρητικό σχήμα πεπερασμένων όγκων. Για τους μη συνεκτικούς όρους ροής χρησιμοποιείται ανάντι σχήμα παρεμβολής τρίτης τάξης ακρίβειας και για τους συνεκτικούς όρους κεντρικό σχήμα δεύτερης τάξης ακρίβειας. Στο φυσικό χρόνο χρησιμοποιείται δεύτερης τάξης ακρίβειας πεπλεγμένο σχήμα προς τα πίσω διαφορών, ενώ στον ψευδοχρόνο χρησιμοποιείται πρώτης τάξης ακρίβειας πεπλεγμένο σχήμα Euler προς τα πίσω διαφορών. Για τον υπολογισμό των παραγώγων των μεταβλητών επίλυσης χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων και το θεώρημα απόκλισης Green-Gauss. Για την επίλυση του μη γραμμικού συστήματος εξισώσεων που προκύπτει από τη διακριτοποίηση χρησιμοποιείται η μέθοδος Newton. Το γραμμικό σύστημα που προκύπτει από τη γραμμικοποίηση Newton επιλύεται με την επαναληπτική μέθοδο Jacobi. Αναπτύχθηκε επίσης μέθοδος επιτάχυνσης της κατασκευής της απαιτούμενης δομής δεδομένων του σειριακού επιλύτη της ροής. Για την πιστοποίηση του επιλύτη γίνεται πρόλεξη διαφόρων γνωστών πεδίων ροής από τη βιβλιογραφία και σύγκριση με αντίστοιχα πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα. Εξετάζονται διδιάστατα και τρισδιάστατα πεδία ροής, στρωτά και τυρβώδη, μόνιμα και μη μόνιμα. Επιλύονται προβλήματα εξωτερικών και εσωτερικών ροών. Γίνονται επίσης διάφορα αριθμητικά πειράματα με σκοπό τον προσδιορισμό της παρατηρούμενης χωρικής και χρονικής ακρίβειας της μεθοδολογίας καθώς και τη διαφάνειά της στα υβριδικά πλέγματα. Μελετάται επίσης η επίδραση ορισμένων αριθμητικών παραμέτρων στο ρυθμό σύγκλισης στον ψευδοχρόνο όπως το φυσικό χρονικό βήμα, η παράμετρος ψευδοσυμπιεστότητας “β”, τα βήματα Newton και ο αριθμός CFL. Αριθμητικά πειράματα γίνονται επίσης και για τον προσδιορισμό της ακρίβειας των μεθόδων υπολογισμού των παραγώγων. Προκειμένου να επιτευχθεί επιτάχυνση της σύγκλισης, αναπτύσσεται παράλληλος αλγόριθμος επίλυσης. Ο αλγόριθμος βελτιστοποιείται ως προς την ανταλλαγή δεδομένων με σκοπό την καλή κλιμάκωση του κώδικα και την αποφυγή αδιεξόδων. Η μεθοδολογία αποδείχθηκε διαφανής στα υβριδικά πλέγματα με παρατηρούμενη χωρική και χρονική τάξη ακρίβειας ίση με δύο. Τα αριθμητικά αποτελέσματα της παρούσας μεθοδολογίας βρέθηκαν σε καλή συμφωνία με αντίστοιχα αριθμητικά και πειραματικά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας. Η χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων και του θεωρήματος απόκλισης Green για την ανακατασκευή των μεγεθών της ροής εκατέρωθεν του μέσου μίας ακμής, δίνουν ακριβή αποτελέσματα για στρωτές ροές. Στα προβλήματα τυρβώδους ροής που εξετάστηκαν, η χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων για την ανακατασκευή των μεγεθών της ροής εκατέρωθεν του μέσου μίας ακμής, αποδείχθηκε πιο εύρωστη σε σχέση με τη χρήση του θεωρήματος Green. Η τάξη ακρίβειας και των δύο μεθόδων προσδιορίστηκε ίση με δύο. Η μέθοδος επιτάχυνσης της κατασκευής της δομής δεδομένων έδωσε σημαντική επιτάχυνση. Ο παράλληλος αλγόριθμος επίλυσης δίνει συγκρίσιμους συντελεστές επιτάχυνσης με αυτούς που αναφέρονται στη βιβλιογραφία για προβλήματα με παρόμοιο υπολογιστικό φορτίο και πλήθος διεργασιών. Επιτεύχθηκαν συντελεστές επιτάχυνσης 20÷24 με χρήση 32 διεργασιών. Η κλιμάκωση του παράλληλου αλγόριθμου αυξάνεται με την αύξηση του υπολογιστικού φορτίου και αποφεύγονται τα αδιέξοδα. Τέλος το αναπτυχθέν λογισμικό είναι φορητό (portable) στα λειτουργικά συστήματα Windows/Linux και στις υλοποιήσεις openmpi/mpich2 του πρωτοκόλλου MPI.

The aim of the present study is the development of an artificial compressibility method for the prediction of 3D unsteady aerodynamic flows. The incompressible flow equations are solved using hybrid unstructured grids and RANS turbulence models. Parallel processing is also used for convergence acceleration. More specifically, the Reynolds Averaged Equations (RANS) for incompressible flow are solved, while the Reynolds stresses are modeled using the Boussinesq assumption for the eddy viscosity. For the computation of eddy viscosity, the Spalart-Allmaras, k-ω-TNT and k-ω-SST turbulence models are used. Equations are discretized using a conservative finite volume scheme. A third order upwind interpolation scheme is used for the inviscid fluxes, while a second order central scheme is used for the viscous fluxes. A second order backward implicit time discretization scheme is used in physical time while in pseudotime a first order backward implicit Euler scheme is used. For the gradients computation the least-squares method and Green-Gauss theorem are used. The non linear system resulting from the discretization process is solved using Newton’s method. The linear system arising from Newton linearization is solved using the Jacobi iterative method. An acceleration method was also developed for the data structure construction needed by the serial flow solver. The solver is tested using known flow problems from literature and comparisons are made with corresponding numerical and experimental results. Two and three dimensional flow fields are examined, laminar and turbulent, steady and unsteady. External and internal flow problems are solved. Numerical experiments are also made for the determination of solver’s observed spatial and temporal order of accuracy and mesh transparency. The effect of various numerical parameters like physical time step, artificial compressibility parameter, Newton steps and CFL number on convergence rate is also examined. In order to accelerate convergence, parallel processing is used. The parallel algorithm is optimized for data exchange, good scalability and deadlock avoidance. The method proved to be mesh transparent with second order observed spatial and temporal accuracy. The numerical results of the present methodology were in good agreement with corresponding numerical and experimental results from literature. The use of the least squares method and Green-Gauss divergence theorem for data reconstruction gave accurate results for laminar flows. For the turbulent flow problems examined, the use of the least-squares method for data reconstruction proved to be more robust compared to the use of Green-Gauss theorem. The observed order of accuracy of both methods was two. The acceleration method for data structure creation gave significant speedup. The parallel solver gave comparable speedup factors with those mentioned in literature for corresponding computational loads and number of processes. Speedup factors between 20÷24 were achieved using 32 processes. The scaling of the parallel solver increases with increasing computational load and deadlocks are avoided. Finally the developed software is portable to Windows/Linux operating systems and to openmpi/mpich2 implementations of MPI.