Αριθμητικές μέθοδοι στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και το στοχαστικό μοντέλο Lotka-Volterra

Abstract

Τα μοντέλα στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε μία πληθώρα περιοχών, όπως η χημεία, η μηχανική, η μικροηλεκτρονική και τα οικονομικά. Ωστόσο, πρόσφατα, υπάρχει αύξηση της χρήσης των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων και σε άλλες περιοχές, όπως οι κοινωνικές επιστήμες, η υπολογιστική βιολογία και τα χρηματοοικονομικά. Δυστυχώς, πολλές στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις που εμφανίζονται σε πρακτικές εφαρμογές καθίσταται αδύνατο να επιλυθούν αναλυτικά και κατά συνέπεια απαιτείται η εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων. Υπάρχουν ποικίλες προσεγγίσεις αναφορικά με την αριθμητική επίλυση των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Μέθοδοι Monte Carlo μπορούν να χρησιμοποιηθούν όποτε το φυσικό σύστημα προσομοιώνεται απευθείας με χρήση μιας σειράς τυχαίων αριθμών. Μια άλλη μέθοδος περιλαμβάνει τη διαμέριση τόσο της χρονικής όσο και της χωρικής μεταβλητής. Ωστόσο, η πλέον αποτελεσματική και ευρέως εφαρμόσιμη μέθοδος περιλαμβάνει διαμέριση μόνο του χρόνου, παρέχοντας με αυτόν τον τρόπο προσεγγιστικές τιμές των μονοπατιών σε διακριτές χρονικές στιγμές. Η παρούσα εργασία παρουσιάζει τις πιο βασικές από τις αριθμητικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων. Οι αριθμητικές αυτές μέθοδοι βασίζονται στην προσομοίωση μονοπατιών των προσεγγίσεων διακριτού χρόνου. Επιπλέον, επισημαίνεται πως αυτές οι μέθοδοι μπορούν να προκύψουν από τη στοχαστική ανάπτυξη Taylor, δίνοντας με αυτόν τον τρόπο τη δυνατότητα άντλησης πιο προχωρημένων αριθμητικών σχημάτων ενώ παρουσιάζονται οι προσομοιώσεις μιας σειράς παραδειγμάτων κλιμακούμενης δυσκολίας παρέχοντας μια συνολική εικόνα της μεθόδου και της αποτελεσματικότητας αυτής.

Stochastic differential equation (SDE) models play a prominent role in a range of application areas, including chemistry, mechanics, microelectronics and economics. However, recently there has been an increase in the use of stochastic differential equations in other areas, such as social sciences, computational biology and finance. Unfortunately, many stochastic differential equations that appear in practical applications cannot be solved explicitly and therefore require the use of numerical methods. There are various approaches to solving stochastic differential equations numerically. Monte Carlo methods could be used whereby the physical system involved is simulated directly using a sequence of random numbers. Another method involves the discretization of both the time and space variables. However, the most efficient and widely applicable approach involves the discretization of the time variable only, thus generating approximate values of the sample paths at the discretization times. This paper highlights the most basic numerical methods that can be used to solve stochastic differential equations numerically. These numerical methods are based on the simulation of sample paths of time discrete approximations. Furthermore, it shows how these methods can be derived from the stochastic Taylor expansion, thus providing opportunities to derive more advanced numerical schemes and presents the simulations of a series of examples of scaling difficulty, thus providing an overview of the method and its efficiency.