Μέθοδοι Πολλαπλών Κλιμάκων Στην Επίλυση Ελαστοπλαστικών Προβλημάτων Επίπεδης Έντασης

Abstract

Αντικείμενο της μεταπτυχιακής εργασίας είναι οι μέθοδοι πολλαπλών κλιμάκων στην επίλυση ελαστοπλαστικών προβλημάτων επίπεδης έντασης. Σχεδόν όλα τα βιομηχανικά και τεχνητά υλικά, όπως επίσης και τα φυσικά υλικά, που χαρακτηρίζονται από πολλαπλές κλίμακες, παρουσιάζουν ανομοιογένεια σε κάποια συγκεκριμένη κλίμακα, η οποία έχει σημαντικό αντίκτυπο στην παρατηρούμενη μακροσκοπική συμπεριφορά τους. Ο καθορισμός των μακροσκοπικών ιδιοτήτων των υλικών αυτών μέσω της διενέργειας απλών πειραματικών μετρήσεων σε έναν αριθμό δειγμάτων υλικού διαφορετικών διαστάσεων, λαμβάνοντας υπόψη διάφορους δρόμους φόρτισης είναι ένα μάλλον ανέφικτο έργο. Από την άλλη μεριά, η απευθείας αριθμητική επίλυση των προβλημάτων πολλαπλής κλίμακας είναι δύσκολη ακόμα και με την εμφάνιση των υπερ-υπολογιστών, γιατί απαιτείται ένα τεράστιο ποσό μνήμης του υπολογιστή και μεγάλος χρόνος επεξεργασίας. Για τους παραπάνω λόγους, υπάρχει μια επιτακτική ανάγκη για την ανάπτυξη εξειδικευμένων στρατηγικών προσομοίωσης, των μεθόδων πολλαπλών κλιμάκων. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η extended multiscale finite element method (EMsFEM, Zhang, Wu, Lü και Fu) και η υπολογιστική ομογενοποίηση πρώτης τάξεως (Kouznetsova). Αφού οριστεί το πεδίο εφαρμογής και οι περιορισμοί της κάθε μίας και παρουσιαστεί η μεθοδολογία τους, επιλύονται παραδείγματα που αποδεικνύουν την αποτελεσματικότητά τους.

This master thesis deals with the multiscale methods for the solution of elastoplastic plane stress problems. Almost all the industrial materials, as well as natural materials, which are characterized by multiple scales, are heterogeneous at a certain scale, which has significant impact on the observed macroscopic behavior. The determination of the macroscopic properties of these materials by performing simple experimental measurements on a number of material samples of different dimensions, taking into account different loading paths is a rather unfeasible task. On the other hand, the direct numerical solution of multiscale problems is difficult even with the advent of the most powerful computers, because it requires a huge amount of computer memory and high processing time. For these reasons, there is a pressing need to develop specific modeling strategies which nowadays constitutes the field of multiscale methods. Hence, in this thesis, some specific aspects are addressed namely the extended multiscale finite element method (EMsFEM, Zhang, Wu, Lü and Fu) and the computational homogenization of first order. First the limitations of each method are described and their methodology is presented. Numerical examples are presented that demonstrate the efficiency of the aforementioned multiscale methods.