Επίλυση εξισώσεων-μοντέλων σχηματισμού και διάδοσης κυμάτων tsunami με την Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων

Abstract

Το αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μοντελοποίηση του φαινομένου της γένεσης και της διάδοσης των κυμάτων τσουνάμι με χρήση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Αρχικά, παρουσιάζεται το γενικό πρόβλημα κυμάτων ελεύθερης επιφάνειας σύμφωνα με τους θεμελιώδεις νόμους της υδροδυναμικής και περιγράφονται οι εξισώσεις ρηχών υδάτων, οι οποίες με τις κατάλληλες παραδοχές, ενδείκνυνται για την περιγραφή της διάδοσης κυμάτων τσουνάμι. Στη συνέχεια, γίνεται μια σύντομη αναφορά στα αίτια και τους μηχανισμούς δημιουργίας κυμάτων τσουνάμι, περιγράφονται τα στάδια εξέλιξής τους και για κάθε ένα από αυτά, οι αντίστοιχες εξισώσεις ρηχών υδάτων. Έπειτα, παρουσιάζεται η μεταβολική διατύπωση των κατάλληλων γραμμικοποιημένων εξισώσεων ρηχών υδάτων, η οποία οδηγεί στην κατασκευή μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, και αποδεικνύεται η ύπαρξη και η μοναδικότητα της λύσης του μεταβολικού προβλήματος. Ακολούθως, παρουσιάζεται η προσομοίωση και ο προγραμματισμός που έγινε για την επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (μέσω του υπολογιστικού περιβάλλοντος Matlab). Τα μοντέλα προσομοίωσης που επιλύθηκαν αφορούν σε διάφορους γενεσιουργούς μηχανισμούς όπως η τμηματική ανύψωση πυθμένα και οι υποθαλάσσιες κατολίσθησεις. Με την ίδια μέθοδο, επιλύθηκε και η περίπτωση δημιουργίας τσουνάμι με γενεσιουργό αίτιο την πτώση μετεωρίτη. Τέλος, παρατίθενται τα αποτελέσματα των προηγούμενων εφαρμογών και γίνεται σχολιασμός και σύγκριση αυτών με αντίστοιχα από τη σχετική βιβλιογραφία.

The present study aims to investigate the generation and propagation of tsunami waves via suitable forms of the linearized shallow water equations and use of the Finite Element method. Initially, the derivation of the basic hydrodynamic theory for non-viscous incompressible fluids is introduced and the shallow water theory is described. That constitutes a principal approximate theory, which results from assuming the water to be shallow or the wave to have a long wavelength. In this study, we are restricting the research to the linear approximation, which is defined in terms of the ratio of a typical wave amplitude to a typical depth. Several generating mechanisms, such as seabed dislocations or submarine landslides, are considered. For this purpose, 1-D and 2-D equations are presented and suitable variational formulations are derived and analysed. Based on the previous, Finite Element models are developed. The implementation of the above, along with several time integration techniques, into MatLab codes follows. Numerical results, regarding to seabed dislocations and submarine landslides, are presented and compared to similar cases of the relevant literature. Finally, an application of the above techniques for the simulation of meteor impact generated water waves, is attempted. Comparison of the shallow water theory with full dispersion solutions is presented and convergence of the numerical schemes is demonstrated.