Ημιομάδες και στοχαστικές εξελεικτικές εξισώσεις σε χώρους Hilbert

Abstract

Το θέμα της παρούσας εργασίας είναι η θεωρία ημιομάδων τελεστών και οι εφαρμογές της στις ντετερμινιστικές και στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις αυτές κατέχουν πρωταγωνιστικό ρόλο στην μαθηματική προτυποποίηση σε διάφορους επιστημονικούς τομέις, όπως φυσική, χημεία, βιολογία, δυναμική πληθυσμών, νευροφυσιολογία, ωκεανογραφία, ιατρική απεικόνιση, μαθηματική οικονομία. Εδώ ασχολούμαστε με την ποιοτική θεωρία των στοχαστικών μερικών διαφορικών εξισώσεων απο την σκοπιά της θεωρίας ημιομάδων τελεστών, δηλαδή καταπιανόμαστε με την μελέτη εξελεικτικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων σε απειροδιάστατους χώρους Hilbert. Αρχικά επικεντρωνόμαστε στο γραμμικό μη ομογενές αφηρημένο πρόβλημα Cauchy και στην συνέχεια εξετάζουμε το στοχαστικό του ανάλογο, δηλαδή το γραμμικό στοχαστικό αφηρημένο πρόβλημα Cauchy με προσθετικό λευκό θόρυβο. Τέλος εφαρμόζουμε αυτήν την αφηρημένη θεωρία στην ποιοτική μελέτη ντετερμινιστικών και στοχαστικων μερικών διαφορικων εξισώσεων. Τα δύο σημαντικότερα παραδείγματα που μελετάμε είναι η γραμμική εξίσωση θέρμοτητας με Dirichlet συνοριακές συνθήκες και το στοχαστικό της ανάλογο, δηλαδη η στοχαστική εξίσωση θερμότητας με προσθετικό λευκό θόρυβο.

This thesis concerns the semigroup theoretic treatment of deterministic and stochastic partial differential equations. Such equations are key tools of mathematical modeling in many fields such as physics, chemistry, biology, population dynamics, neurophysiology, oceanography, image analysis and mathematical finance among others. Stochastic partial differential equations describe the change in tme of a system in terms of the state of the system, taking additionaly into account the influence of random fluctuations. There are four approaches to stochastic partial differential equations, the martingale approach [Walsh 1986], the variational aproach [Pardoux 1972], [Krylov and Rozowski 1979], the wick product approach [Oksendal 1996] and the semigroup approach [Da Prato and Zabczyc 1992]. In this work we use the semigroup approach, i.e we are dealing with stochastic evolution equations in infinite dimensional Hilbert spaces. Firstly we focus on the linear inhomogeneous abstract Cauchy problem. Next we study its stochastic analogue, i.e the linear stochastic abstract Cauchy problem with additive noise. We will impose sufficient conditions for the existence and uniqueness of weak solutions to the above problems. Finally, this abstract theory is applied to the qualitative study of deterministic and stochastic partial differential equations. The two most important examples will be the linear heat equationswith zero Dirichlet boundary conditions and its stochastic analogue, i.e the linear stochastic heat equation with additive space-time white noise.