Πολυπολικό ανάπτυγμα της ακτινοβολίας στον κλασικό ηλεκτρομαγνητισμό

Abstract

Η παρούσα εργασία πραγματεύεται, όπως προδίδει και ο τίτλος της, το ζήτημα του πολυπολικού αναπτύγματος της ακτινοβολίας στα πλαίσια της κλασικής θεωρίας του ηλεκτρομαγνητισμού. Πρόκειται για μια πολύ ισχυρή μαθηματική μέθοδο, η οποία καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από μια μακρινή πηγή στις περιπτώσεις εκείνες όπου μια απευθείας αντιμετώπιση του προβλήματος αποτυγχάνει, ενώ είναι δυνατή και η επέκτασή της στο πεδίο των βαρυτικών κυμάτων. Στο πρώτο μέρος της εργασίας παρουσιάζεται μια κάπως φτωχή αντιμετώπιση του ζητήματος, η οποία εστιάζει στο ανάπτυγμα του διανυσματικού δυναμικού και έχει κυρίως ως στόχο να εισάγει τον αναγνώστη στη φύση του προβλήματος. Οι αδυναμίες αυτής της ανάλυσης γίνονται αρκετά γρήγορα εμφανείς, οπότε δίνεται με αυτόν τον τρόπο το ερέθισμα γαι την αναζήτηση μιας πιο συστηματικής προσέγγισης του θέματος. Η προσέγγιση αυτή πραγματοποιείται στο δεύτερο μέρος, με το λεγόμενο γενικευμένο πολυπολικό ανάπτυγμα της ακτινοβολίας, και έχει ως αφετηρία την κυματική εξίσωση του Helmholtz. Στα πλαίσιά της, παρατίθενται ορισμένες ιδιότητες των πολυπολικών ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, όπως είναι η τροχιακή στροφορμή και η ενέργεια, ενώ πραγματοποιείται και η σύνδεσή τους με τις πηγές που τα παράγουν. Το τρίτο μέρος της εργασίας είναι εστιασμένο σε ένα ενδεικτικό πρόβλημα, τον προσδιορισμό της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από μια γραμμική κεραία κεντρικής παροχής. Στην αρχή πραγματοποιείται απευθείας υπολογισμός των απαραίτητων ποσοτήτων, ενώ στη συνέχεια επιστρατεύεται η μέθοδος του γενικευμένου πολυπολικού αναπτύγματος, έτσι ώστε να αξιολογηθεί στην πράξη η ισχύς και η χρησιμότητά της. Στα παραρτήματα έχουν συμπεριληφθεί όλα τα αναγκαία μαθηματικά εργαλεία, όπως για παράδειγμα τα πολυώνυμα Legendre, οι σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις Bessel αλλά και οι ταυτότητες και συναρτήσεις του Green. Τέλος, παρουσιάζεται σύντομα μια απλή αριθμητική μέθοδος για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων η οποία προσαρμόζεται με τέτοιον τρόπο ώστε να είναι δυνατή η άμεση χρήση της στα πλαίσια του μαθηματικού λογισμικού Matlab.

The present thesis attempts to investigate the multipole expansion of radiation, within the scope of classical electromagnetic theory. This powerful mathematical method makes the determination of radiation emitted from a distant source possible, even in those cases where a direct approach to the problem seems condemned to fail, whereas its application can be extended to the theory of gravitational waves. The first part of the thesis exposes a rather poor confrontation of the issue, focusing on the expansion of the vector potential and aiming to in- troduce the reader into the nature of the problem. However, the drawbacks of this analysis soon become too important to ignore, providing us with the opportunity to advance to a more systematic approach of the subject. This approach is carried out in the second part, where the so called gen- eralized multipole expansion of radiation is established, using the Helmholtz wave equation as a starting point. In this regard, several properties of multi- pole electromagnetic waves, such as angular momentum and energy, together with their connection with the sources that produce them, are examined as well. The third part of the thesis is focused on a signi cant problem, that of the radiation emitted from a center-fed linear antenna. At rst, a direct approach to the problem is made, so that the reader can compare with the results obtained afterwards, using the generalized multipole expansion, and ascertain the accuracy and power of the method. All necessary mathematical tools, such as Legendre polynomials, spher- ical harmonics and Bessel functions, together with Green's identities and functions, are being included in the appendices. Finally, a simple but acute method for the numerical computation of integrals is presented and modi ed, in order to be used together with Matlab mathematical software.