Αριθμητική Επίλυση και Αξιολόγηση της μη Γραμμικής Εξίσωσης Black Scholes

Abstract

􏰃 υπολογισμός της αξίας των δικαιωμάτων προαίρεσης αποτελεί αντικείμενο μελέτης των ερευνητών από τις αρχές του 1970, όταν άρχισε η πρώτη μαζική διαπραγμάτευση τέτοιων δικαιωμάτων. Η εξίσωση Black - Scholes έχει προταθεί από το 1973 και αποτελεί το βασικό εργαλείο των επενδυτών παγκοσμίως για την αξιολόγηση χαρτοφυλακίων τα τελευταία 40 χρόνια. Έκτοτε, η εξίσωση αυτή έχει γίνει αντικείμενο έντονης κριτικής έως και κατηγορηθεί για την παραγωγή λανθασμένων αποτελεσμάτων εξαιτίας των ιδιαίτερα απλοϊκών παραδοχών στις οποίες στηρίζεται. Ένα από τα βασικότερα αντικείμενα μελέτης όσων ασχολούνται με την τιμολόγηση δικαιωμάτων τις τελευταίες δεκαετίες, αποτελεί η μαθηματική θεμελίωση ενός μοντέλου, το οποίο στηριζόμενο στην εξίσωση Black - Scholes, θα βελτιώνει τις προβλέψεις για την τιμή των δικαιωμάτων. Τα μοντέλα που έχουν προταθεί, εστιάζουν στην μετατροπή του, μέχρι πρότινος σταθερού όρου της μεταβλητότητας της υποκείμενης μετοχής, σε συνάρτηση της τιμής της υποκείμενης μετοχής, του χρόνου μέχρι την εκπνοή του δικαιώματος και του συντελεστή ευαισθησίας. Η μετατροπή αυτή, οδηγεί στην παραγωγή μίας μη γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, μελετώνται τέσσερα μοντέλα που έχουν προταθεί για την αντιμετώπιση των προβλημάτων της Black - Scholes και το αντίκτυπο που έχουν στις προβλέψεις των δικαιωμάτων προαίρεσης. Στη συνέχεια, γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων των διαφορετικών μοντέλων με τα αποτελέσματα της γραμμικής εξίσωσης Black - Scholes και με πραγματικά δεδομένα τιμών δικαιωμάτων προαίρεσης. Για την ανάλυση, επελέγησαν δικαιώματα επί μετοχών εταιρειών που προέρχονται από διαφορετικούς κλάδους της οικονομίας, με στόχο την κατά το δυνατό πληρέστερη εξέταση της αγοράς. Σκοπός της μελέτης είναι η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των εξισώσεων που εξετάζονται και η εξαγωγή συμπερασμάτων για τις περιπτώσεις στις οποίες αυτές πρέπει να χρησιμοποιούνται.

Since 1970, researchers all over the world tried to develop a closed – form formula to price stock options. Black - Scholes Option Pricing Model (BSOPM) was introduced in 1973 and has been widely used since then, on a worldwide basis, to price options. At first all traders were referring to this equation as the so-called “Midas Hand”, since it enabled the easy earning of money. However, BSOPM has been accused for the mispricing of options, which recently led to huge financial problems for both investors and financial institutions. To tackle this, since 1973, many researchers have tried to come up with a correction of the Black - Scholes model, which can lead to better results. Most of these corrections though, interfere with the volatility term of the underlying stock price, which until recently was assumed to be constant, and suggest that the price of the volatility is a function itself. This change in the frame of the equation, leads to a non-linear differential equation. In this diploma thesis, we consider four different non – linear models, which were proposed to improve the estimation of the price of an option. These models are supposed to take into consideration the existence of transaction costs, the market illiquidity and the uncertainty of the volatility term. Finally, after we propose a way of solving these non – linear equations, we compare the results of the linear Black - Scholes model and the non – linear ones with actual market option prices. The aim is to evaluate each model and export conclusions regarding the appropriate use of them.