Αριθμοί Catalan και Stirling

Abstract

Αυτή είναι μια διπλωματική εργασία στα Διακριτά Μαθηματικά με τίτλο: «Αριθμοί Catalan και Stirling» όπου εξετάζονται εκτενώς οι αριθμοί Catalan και οι αριθμοί Stirling α’ και β’ είδους. Στόχος είναι η μελέτη του θεωρητικού πλαισίου πάνω στο οποίο βασίζονται, αλλά και των εφαρμογών τους σε σημαντικά προβλήματα, που εμπίπτουν και σε άλλα επιστημονικά πεδία, όπως η Επιστήμη των Υπολογιστών. Στο εισαγωγικό κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στους διωνυμικούς συντελεστές, δεδομένου ότι είναι δομικοί λίθοι της Συνδυαστικής, και σε άλλες ακολουθίες αριθμών, που σχετίζονται είτε με τους αριθμούς Catalan είτε με τους αριθμούς Stirling, όπως οι αριθμοί Bell, οι Motzkin και οι Fibonacci. Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζονται οι αριθμοί Catalan. Εκτός από το θεωρητικό πλαίσιο το σχετικό με αυτούς, παρουσιάζονται και διάφορες εφαρμογές τους σε προβλήματα των Μαθηματικών όπως το πρόβλημα της κάλπης, ο τριγωνισμός ενός πολυγώνου, η τοποθέτηση παρενθέσεων σε ένα γινόμενο και η μέτρηση του πλήθους των δένδρων με προσανατολισμό, ρίζα και n φύλλα. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζονται οι αριθμοί Stirling τόσο στο θεωρητικό τους πλαίσιο όσο και σε εφαρμογές στη διαμέριση συνόλων και στα προβλήματα πληρότητας, όσον αφορά στους αριθμούς Stirling β’ είδους, και στις μεταθέσεις αντικειμένων σε μη διατεταγμένους κύκλους, όσον αφορά στους αριθμούς Stirling α’ είδους.

This is a dissertation paper on Discrete Mathematics especially concerning Catalan Numbers and Stirling Numbers of the first and second kind. The objective is to present the theoretical framework as well as their applications on certain mathematical problems that appear on other scientific fields, such as Computer Science. The first chapter refers to the binomial coefficients, given that they play significant role in Combinatorics. It also refers to other popular numeric sequences, such as the Bell numbers, the Motzkin numbers and the Fibonacci numbers. The second chapter deals with the Catalan numbers, the related theorems and their applications on The Ballot Problem, the Dyck Paths, the Balanced Parentheses, the Balanced Trees and the Polygon Triangulation. The third chapter is about the Stirling numbers, their theory and applications in the partitioning of a set of objects or in Occupancy problems (Stirling numbers of the second kind) and the number of cycles in a permutation (Stirling numbers of the first kind).