Μαθηματικοί Μετασχηματισμοί Στην Ιατρική Απεικόνιση

Abstract

Τις τελευταίες δεκαετίες, η χρήση των μαθηματικών νείναι αιασθητή σε πολλές πτυχές της καθημαρινότητας μας , και ιδιαίτερα σημαντικός είναι ο ρόλος τους στο τομέα της ιατρικής. Στην παρούσα εργασί ασχοληθηκάμε με την ανάλυση των μαθηματικών μεταχηματισμών που χρησιμοποούνται στην ιατρική απεικόνιση. Η κατασχκευή της ιατρικής απεικόνισης γίνεται από μετρήσεις που πραγματοποούνται από μηχανήματα ακτίνων Χ, τις οποίες επεξεργάζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός Radon. Ο μετασχηματισμός Radon είναι απραίτητος για την κατασκευή του μαθηματικού μοντέλου που χρησιμοποιεί τις μετρήσεις που γίνονται στο μηχάνημα των ακτίνων Χ. Ωστόσο, για το ορίσουμε το μετασχηματισμό Radon πρέπει αρχικά να ορίσουμε το μετασχηματισμό Fourier. Επομένως, στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας εισάγουμε το μετασχηματισμό Fourier και επανεξετάζουμε μερικές από τις ιδιότητες του. Χρησιμοιποιώντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier ως γραμμικό μετασχηματισμό των απειροδιάστατων γραμμικών διανυσμάτων χώρων ορίζουμε το μετασχηματισμό Fourier και τον αντίστροφο του σε διάφορους χώρους των συναρτήσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας ορίζουμε το μεταχηματισμό Radon και αναλύουμε τις ιδιότητες του. Επίσης, εισάγουμε το κεντρικό θεώρηαμ τομής το οποίο συνδέει τους μετασχηγματισμούς Fourier και Radon. Χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα τομής παίρνουμε το τύπο της μεθόδου φίλτρου Back-Projection,όπου παρέχει έναν ακριβή αντίστροφο μεταχσημαρισμό Radon. Αυτός ο τύπος του αντίστροφου Radon αποτελεί βασικό στοιχείο στους αλγορίθμους ανκατασκευής που χρησιμοποιούνται στα σημερινά μηχανήματα ακτίνων Χ. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε το πρόβλημα ανακτασκευής αλγορίθμων για συγκεκριμένες διατάξεις που χρησιμοποούνται στους σύγχρονους σαρωτές CT. Συγκεκριμένα, ορίζουμε τους αλγορίθμους των σαρωτών που χρησιμοποούν δισδιάστατη τομή . Επιπλέον, περιγράφουμε την λειτουργία του κάθε σαρωτή υπό την γεωμετρική έννοια.

In recent decades, the use of mathematics is felt in many aspects of our daily lives, and especially important is their role in the medical field. In this work we have dealt with the analysis of mathematical transforms used in medical imaging. Medical imaging is done by measurements made by X-ray machines, processed by the inversion of Radon transform. Radon transform is necessary for the construction of a mathematical model using the measurements madein the X-ray machine. However, to define the Radon transform must first define the Fourier transform. Therefore, in the first chapter, we introduce the Fourier transform and review some of its properties. Using the properties of Fourier transform as a linear transform of infinite dimensional linear vector spaces we define the Fourier transform and its inverse in various spaces of functions. In the second chapter, we define the Radon transform and analyze its properties. Also, we introduce the central slice theorem which connects the Fourier and Radon transforms. Using this theorem we obtain the formula of method filter Back-Projection, which provides a precise inverse of Radon transform. This formula of inverse of Radon is a key element in the reconstruction algorithm used in the current X-ray machines. Finally, in the third chapter we study the problem of reconstruction algorithms for specific devices used in modern scanners CT. Specifically, we define algorithms scanners using two-dimensional slices. Futhermore, we describe the operatioin of any scanner in the geometric sense.