Επαναδιατύπωση της συνεχούς συζυγούς μεθόδου στη βάση της διακριτής. Μια νέα ιδέα με εφαρμογή σε ψευδο-1Δ προβλήματα βελτιστοποίησης στην αεροδυναμική.

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζει τη μαθηματική ανάπτυξη μιας νέας διατύπωσης της συνεχούς συζυγούς μεθόδου, για εφαρμογή στον κλάδο της αεροδυναμικής βελτιστοποίησης. Η νέα διατύπωση κάνει τη συνεχή συζυγή μέθοδο απόλυτα συμβατή με το σχήμα διακριτοποίησης του πρωτεύοντος προβλήματος ροής, γεγονός που αυξάνει την ακρίβεια πρόλεξης των παραγώγων ευαισθησίας. Έτσι καταφέρνει να προσδώσει στη συνεχή συζυγή μέθοδο το ίδιο ακριβώς πλεονέκτημα που έχει και η διακριτή, χωρίς να απεμπολεί τα άλλα γνωστά πλεονεκτήματα της πρώτης (λ.χ. τη δυνατότητα κατανόησης όρων και εξισώσεων, την οικονομία μνήμης, κλπ). Αναλύεται διεξοδικά η προτεινόμενη μεθοδολογία για τη θεμελιωσή της. Η εφαρμογή του προγραμματισθέντος λογισμικού γίνεται στο πρόβλημα αντίστροφου σχεδιασμού ενός ψευδο-1Δ αγωγού, με στόχο την επίτευξη συγκεκριμένης κατανομής πίεσης κατά το μήκος του. Το ρευστό είναι συμπιεστό και η ροή ατριβής. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζονται οι πρώτες παράγωγοι της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς στις μεταβλητές σχεδιασμού.

Η προτεινόμενη νέα συνεχής συζυγής τεχνική συνδιάζει τα πλεονεκτήματα της συνεχούς και της διακριτής συζυγούς μεθόδου. Στην ουσία αφορά μια παραλλαγή της κλασικής συνεχούς συζυγούς μεθόδου όπου όμως η ακρίβεια των παραγώγων ευαισθησίας είναι ίδια με αυτή της διακριτής. Επιβάλλονται νέες οριακές συνθήκες καθώς και νέο σχήμα διακριτοποίησης των συζυγών διαφορικών εξισώσεων στους εσωτερικούς κόμβους, διαφορετικό από ότι στην κλασική συνεχή συζυγή τεχνική, με σκοπό όχι μόνο τον υπολογισμό παραγώγων καλύτερης ακρίβειας, αλλά και την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης σε λιγότερους κύκλους.

Αφού ολοκληρώθηκε η μαθηματική διατύπωση προγραμματίστηκε η προτεινόμενη μεθόδος στο ψευδο-1Δ πρόβλημα και ελέχθηκε η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Οι υπολογισμοί παραγώγων έγιναν αρχικά με σχήμα ακρίβειας πρώτης τάξης και, μετά, με σχήμα δεύτερης τάξης, ενώ τα αποτελέματα συγκρίθηκαν με τη μέθοδο της ευθείας διαφόρισης, η οποία είναι απόλυτα συμβατή με τη διακριτή συζυγή μέθοδο.

This diploma thesis presents the mathematical development of a new continuous ad- joint method, with applications in the feld of aerodynamic shape optimization. This new formulation makes the continuous adjoint method absolutely compatible with the discretization scheme employed for the primal diferential equations and leads to the computation of sensitivity derivatives of high accuracy. Thus, the continuous adjoint method shares the same advantage with the discrete one without divesting itself its other well-known advantages (such as the possibility of interpreting the adjoint terms and equations, the noticeable economy in memory, etc). The mathe- matical formulation is analyzed in detail. The programmed software is applied to the inverse design of a quasi-1D duct, for reproducing a target pressure distribution along its length. The uid is compressible and the ow is inviscid. The computa- tion of the gradient of the objective function with respect to the design variables is performed. The proposed new continuous adjoint method combines the advantages of the conti- nuous and discrete adjoint methods. Essentialy, it is a new variant of the continuous adjoint method in which, the accuracy of sensitivity derivatives is the same as in the discrete one. New boundary conditions and new discretization schemes for the adjoint equations at the internal nodes are derived, different than those of standard continuous adjoint. The new formulation aims not only to compute the gradient with higher accuracy but, also, leads to reduction in the number of optimization cycles required to get the optimal solution. Based on the mathematical development, the proposed method is programmed for the solution of a quasi-1D problem and assessed. The gradient is computed with frst-order and, second-order accuracy. Results are compared with the direct diffe- rentiation method, which is compatible with the discrete adjoint method.