Τέστ Πιστοποίησης Πρώτων και Παραγοντοποίηση Ακεραίων

Abstract

Το θέμα αυτής της εργασίας αφορά στην πιστοποίηση πρώτων και την παραγοντοποίηση ακεραίων. Στο πρώτο μέρος της εργασίας αυτής γίνεται μια ιστορική αναδρομή για τους πρώτους αριθμούς και την εξέλιξη της μελέτης τους ανά τους αιώνες. Δίνονται περιληπτικά τα στάδια της μακραίωνης έρευνάς τους ξεκινώντας από τη σύλληψη των πρώτων αριθμών σε προιστορικά χρόνια. Μεταφερόμαστε φυσικά στην Αρχαία Ελλάδα όπου μελετάμε πιο αναλυτικά τη συμβολή του Ευκλείδη και βλέπουμε τα θεωρήματά του με τις αποδείξεις τους και φτάνουμε μέχρι τα σπουδαία αποτελέσματα μαθηματικών όπως οι Pierre de Fermat, Leonhard Euler και Carl Friedrich Gauss. Επίσης, διατυπώνεται και αποδεικνύεται το σημαντικότατο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζουμε κάποιους βασικούς ορισμούς καθώς και στοιχεία από τη θεωρία αριθμών απαραίτητα για την κατανόηση της θεωρίας των πρώτων αριθμών καθώς και για τη μετέπειτα μελέτη μας στα επόμενα μέρη αυτής της εργασίας. Διατυπώνονται και αποδεικνύονται βασικά θεωρήματα για τη θεωρία των γραμμικών ισοδυναμιών και των τετραγωνικών υπολοίπων και παρουσιάζονται τα σύμβολα των Legendre και Jacobi. Τέλος, βλέπουμε επίσης συνοπτικά ορισμούς και θεωρήματα για τις πρωταρχικές ρίζες. Το τρίτο μέρος της εργασίας αποτελείται από τα τρία πιο γνωστά καθώς και σημαντικότερα τεστ για την πιστοποίηση πρώτων αριθμών. Αναλύουμε το θεωρητικό υπόβαθρο γύρω από αυτά και παραθέτουμε τους αντίστοιχους αλγόριθμους (σε ένα είδος ψευδογλώσσας προγραμματισμού). Τα τεστ που θα δούμε είναι το τεστ του Fermat, το τεστ των Solovay-Strassen και τέλος το τεστ των Miller-Rabin. Στο τελευταίο μέρος βλέπουμε πως μπορεί να γίνει η παραγοντοποίηση ενός ακεραίου σε περίπτωση που αυτός δεν είναι πρώτος. Τα τεστ παραγοντοποίησης που θα μελετήσουμε είναι τα εξής : αλγόριθμος παραγοντοποίησης Fermat, Dixon, p-1 Pollard και Pollard Rho.

The subject of this thesis is about prime numbers and integer factorization. In the first part we can see the primes and the evolution of their study over the centuries. Starting from the ancient Greece and Euclid we reach up to some great results concerning primes that were made by Pierre de Fermat, Leonhard Euler and Friedrich Gauss. In the second part we can see analyzed the basic theory about prime numbers and in the third part we have the algorithms of Fermat, Solovay-Strassen and Miller-Rabin on how to find out if a certain integer is prime or not. Finally,in the last part of this thesis we have the Fermat, Dixon, p-1 Pollard and Pollard Rho integer factorization algorithms.