Βελτιστοποίηση υπερηχητικού επιβατικού αεροσκάφους με χρήση της μεθόδου ιιγαδικών μεταβλητών

Abstract

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η βελτιστοποίηση των επιδόσεων ενός μικρού υπερηχητικού επιβατικού αεροσκάφους με αιτιοκρατικές μεθόδους και χρήση της μεθόδου Μιγαδικών Μεταβλητών για τον υπολογισμό παραγώγων. Το πρόβλημα αυτό αποτελεί ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης πολλών στόχων με περιορισμούς (Multiobjective Constrained Optimization). Οι στόχοι και οι περιορισμοί συμπτύχθηκαν σε μια εννιαία συνάρτηση κόστους έτσι ώστε να είναι δυνατή η βελτιστοποίηση πολλών στόχων με αιτιοκρατικές μεθόδους. Για τη βελτιστοποίηση χρησιμοποιήθηκαν, αντιμετωπίζοντας τα προβλήματα σύγκλισης που αυτές εμφάνισαν, δύο βασιζόμενες στην κλίση της συνάρτησης κόστους (Gradient Based) μέθοδοι βελτιστοποίησης εφαρμοζόμενες σε δύο διαφορετικά προβλήματα επίλυσης των εξισώσεων του αεροσκάφους, σε τέσσερις εφαρμογές βελτιστοποίησης. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκαν η μέθοδος Απότομης Καθόδου (Steepest Descent) και η Τροποποιημένη Μέθοδος Newton (Modified Newton Method). Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία απαιτούν τον υπολογισμό πρώτων παραγώγων (για τη μέθοδο Απότομης Καθόδου) και του Εσσιανού μητρώου (για τη μέθοδο Newton). Για τον υπολογισμό των απαιτούμενων παραγώγων χρησιμοποιείται αρχικά η μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών. Στη συνέχεια, γίνεται εφαρμογή και διερεύνηση μιας νέας μεθόδου αριθμητικού υπολογισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης, της μεθόδου Μιγαδικών Μεταβλητών. Ο υπολογισμός παραγώγου με τη μέθοδο αυτή απαιτεί τη μετατροπή της συνάρτησης και κατ' επέκταση, του κώδικα ανάλυσης του προβλήματος σε μιγαδικό. Αυτή η μετατροπή μπορεί να είναι αρκετά σύνθετη και πολύπλοκη, ανάλογα με τις αριθμητικές διαδικασίες που εκτελεί ο αρχικός κώδικας. Για την υλοποίηση του στόχου αυτού προγραμματίστηκαν αρκετές συναρτήσεις σε μιγαδική μορφή (εφόσον για τις περισσότερες η γλώσσα προγραμματισμού δεν υποστηρίζει μιγαδικό όρισμα), ενώ αναπτύχθηκε στο μιγαδικό επίπεδο αριθμητική μέθοδος αντίστοιχη της μεθόδου διχοτόμησης (bisection).

The purpose of this diploma thesis is the optimization of the performance of a small supersonic business jet using deterministic methods and, in particular, the complex variables technique to compute sensitivity derivatives. This kind of problem is known as a Multiobjective Constraint Optimization problem. To fulfill this objective, the objectives as well as the constraints were merged into a unified objective function in order to deal with the multiobjective problem using deterministic optimization methods. Two Gradient Descent Methods were used for two separate performance analysis algorithms, applied into four different optimization cases, while dealing with various convergence problems. Namely, the Steepest Descent Method and the Modified Newton Method were utilized. The optimization methods used in this thesis, call for the calculation of first-order derivatives (Steepest Descent) as well as the Hessian Matrix (Modified Newton Method). In order to calculate the desired derivatives we use, as a first approach, the method of Finite Differences. Afterwards, we apply a new method of numerical calculation of the function derivatives, the method of Complex Variables. The calculation of a derivative using this method demands that the functions (in this case the programming codes) are converted from real to complex. This conversion is not straightforward, depending on the numerical methods that are used in the original programming code. In order to fulfill this objective, several functions were programmed in complex form (since most functions do not natively support a complex argument) while a method respective to the bisection method was developed on the complex plane.