Σχέση Ν-διάστατης γεωμετρίας, γραμμικού προγραμματισμού, γραφοθεωρίας, πληροφορικής

Abstract

Η πρώτη αναφορά των εννοιών του μεγίστου και του ελαχίστου γίνεται στο τρίτο και τέταρτο βιβλίο των ‘Στοιχείων’ του Ευκλείδη και αφορούσαν σε γεωμετρικά προβλήματα. Αργότερα, πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί (Fermat, Euler, Lagrange κ.α.) ασχολήθηκαν με την εύρεση βελτίστου συνάρτησης. Στις αρχές του 20ου αιώνα και μεσούντων των παγκοσμίων πολέμων σημειώνεται μεγάλη πρόοδος και μιλάμε πια για το Πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού και τη λύση του, όπου μεγάλη επιτυχία γνώρισε η μέθοδος Simplex. Έκτοτε ο Γραμμικός Προγραμματισμός βρήκε εφαρμογές στη Βιομηχανία, την Οικονομία και την επιστήμη του Μηχανικού. Το πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού αφορά στην εύρεση των μη αρνητικών τιμών των μεταβλητών x1,x2,…,xv που βελτιστοποιούν (μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν) τη γραμμική συνάρτηση F=a1x1+a2x2+…+avxv όταν αυτές πληρούν ορισμένους περιορισμούς που εκφράζονται με γραμμικές εξισώσεις και ανισώσεις. Εξετάζοντας το πρόβλημα με μαθηματικό ενδιαφέρον καταλήγουμε στα εξής ενδιαφέροντα συμπεράσματα: • Ο χώρος των λύσεων του προβλήματος του Γραμμικού Προγραμματισμού είναι ένα κυρτό και φραγμένο σύνολο, άρα είναι ένα πολύτοπο στον . Η βέλτιστη λύση είναι ένα ακραίο σημείο του πολυτόπου. • Εάν αυτό το πολύτοπο στον το προβάλουμε σε επίπεδο προκύπτει γράφημα.Η βέλτιστη λύση είναι μια κορυφή του πολυτόπου και επειδή στο πρόβλημα του Γραμμικού Προγραμματισμού ή τιμή της συνάρτησης f μεταβάλλεται απο κορυφή σε κορυφή αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση σε κάποια κορυφή θα παίρνει τη βέλτιστη λύση. Άρα στο γράφημα η βέλτιστη λύση κινείται απο κορυφή σε κορυφή και άρα διαγράφει μονοπάτι Hamilton και το αντίστοιχο γράφημα είναι ημιχαμιλτόνιο. • Ο αλγόριθμος της μεθόδου Simplex γράφεται εύκολα σε σύνχρονες γλώσσες προγραμματισμού χαρίζοντας ταχύτητα, ευκολία και ακρίβεια σε καθημερινές εφαρμογές.

Euclides was the first who referred to the concepts of maximum and minimum in his third and fourth book of “Elements”. Years later, most of the great mathematicians, such as Fermat and Lagrange, worked on finding the best solution (maximum or minimum) of a function. However, it was not until the early 20th century that great progress was made and after World War II that we eventually had the development of Linear Programming and its solutions, the most famous of which was (and still is) the so-called Simplex method. Linear Programming has broadly been applied in Economics, Industry and Engineering. Linear programming is a mathematical technique for maximizing or minimizing a linear function of several variables, such as output or cost. Examining Linear Programming and the Simplex method through a “mathematical” perspective, one concludes the following: • The solution set of Linear Programming is generally a convex and bounded set and therefore is a polytope of the IRn space. The optimal solution is an extreme point of the polytope. As a result, the solution of a Linear Programming matter is found within the vertices of a polytope. • If this polytope is projected onto a plane, a graph is derived. The optimal solution is a vertex of the polytope and since in the linear programming the value of the function f varies from one vertex to another, the function obtains the optimal solution in one of the vertices. Consequently, in the graph the optimal solution goes through all the vertices and therefore creates a Hamilton path and the related graph of the polytope is a semi-Hamiltonian graph. • The Simplex algorithm is easily transcribed to all contemporary programming languages, thus ensuring speed, flexibility and accuracy in every day applications and routine procedures