Η μέθοδος Gmres με προσταθεροποίηση στον αντίστροφο σχεδιασμό μορφών με χρήση των συζυγών τεχνικών

Abstract

Στόχος είναι o προσδιορισμός του κέρδους σε υπολογιστικό χρόνο (επιτάχυνση-speedup) από την εφαρμογή της προσταθεροποιημένης GMRES συγκριτικά με επιλύτες, όπως ο Jacobi, που το λογισμικό επίλυσης χρησιμοποιούσε μέχρι τώρα. Η σύγκριση γίνεται κυρίως μεταξύ της αποδοτικότερης GMRES και Jacobi. Για αυτό, γίνεται εκτενής διερεύνηση των παραμέτρων που επηρεάζουν τη σύγκλιση της μεθόδου GMRES. Για μεν τη GMRES, εξετάστηκε η αποδοτικότερη διάστασης της διανυσματικής βάσης και των επαναλήψεων προσταθεροποίησης για δε τη Jacobi του αριθμού επαναλήψεων. Επιπλέον εξετάζονται διάφορες μέθοδοι προσταθεροποίησης της GMRES ώστε να βρεθεί η πιο αποδοτική για τα προβλήματα που εξετάζονται. Η διερεύνηση των παραμέτρων αυτών γίνεται σε αντίστροφο σχεδιασμό αεροτομών και πτερύγωσης με στόχο συγκεκριμένες κατανομές πίεσης, που εκφράζονται από συγκεκριμένο συντελεστή πίεσης, γύρω από ή μεσα σε αυτές. Οι συζυγείς εξισώσεις επιλύονται σε (μη--δομημένα) πλέγματα διαφόρων αριθμών κόμβων καθώς και σε ατριβείς, στρωτές και τυρβώδεις ροές. Βάσει των παρατηρήσεων που έγιναν προσδιορίσθηκε η αποδοτικότερη διαμόρφωση της μεθόδου GMRES που χρησιμοποιείται στην επίλυση προβλημάτων αερο-θερμοδυναμικού σχεδιασμού και βελτιστοποίησης. Αυτή χρησιμοποιήθηκε για το προσδιορισμό του υπολογιστικού κέρδους στο σχεδιασμό εναλλάκτη θερμότητας, μέσω των συζυγών τεχνικών, με στόχο την ελαχιστοποίηση των απωλειών ολικής πίεσης του διερχόμενου ρεύματος ρευστού ενώ μεγιστοποιείται η μεταφορά θερμότητας στο εσωτερικό του. Στην περίπτωση αυτή, η GMRES εφαρμόσθηκε, πέρα από την επίλυση του συζυγούς προβλήματος, στην επίλυση των εξισώσεων ροής (μη-γραμμικές) αλλά και στην εξίσωση μεταφοράς θερμότητας (γραμμική). Η εφαρμογή στις μη-γραμμικές εξισώσεις ροής (μετά από γραμμικοποίηση) δείχνει ότι μπορεί να επιτευχθεί ακόμη μεγαλύτερο υπολογιστικό κέρδος από τη χρήση της μη-γραμμικής GMRES σε τέτοια συστήματα, αν αυτά προγραμματισθούν και χρησιμοποιηθούν.

This Diploma Thesis focuses on the application of the Restarted, Preconditioned GMRES (Generalised Minimal Residual Method) to optimization problems and especially to inverse design and to optimization of shapes common in the field of mechanical engineering. GMRES, as a solution method for linear systems, is applied to those systems which are produced by the discrete and continuous adjoint method od optimazation. The shapes to be designed/optimized geometries are airfoil, cascade and the tubes of a heat exchanger. Our target is to estimate the speedup when using the GMRES method instead of the Jacobi method. Comparison takes place between the optimal, in terms of computing time, GMRES and Jacobi. For that reason we investigate extensively the convergence parameters of those methods. Concerning GMRES, we locate the optimal dimension of vector basis and preconditioning sub-iterations. Regarding the Jacobi method, we locate the optimal value of iterations. In addition, several preconditioning methods are tested in order to find the optimal one in the presented applications. This investigation is related with inverse design of an airfoil and a cascade aiming a known pressure distribution, signified by a given pressure coefficient, around and through them. The adjoint equations are solved on unstructured grids of different node numbers, for inviscid and viscous (laminar and turbulent) flows. Taking into account observations made we define the optimal GMRES configuration which is recommended in problems of aerothermodynamic optimization. This is used to compute the Speedup achieved in the optimization of a heat exchanger. The target in this design is to minimize the major flow losses of total pressure while we maximize the heat transfer phenomena between the cold and the hot fluid flows. In this case, apart from solving the adjoint equations, GMRES is used to solve the flow equations (which are non linear) and the one of heat exchange (linear) through the exchanger. By using GMRES to the non linear system of flow equations we give a first estimation of the Speedup we expect to obtain.