Ανάπτυξη και εφαρμογή της μεθόδου SPH (smoothed particle hydrodynamics) για την προσομοίωση διδιάστατων και τριδιάστατων ροών με ελεύθερη επιφάνεια

Abstract

Η αδυναμία των συμβατικών πλεγματικών μεθόδων να υπολογίσουν ροές ελεύθε- ρης επιφάνειας καθώς και ροές σε πολύπλοκες γεωμετρίες οδήγησε στην ανάπτυξη μη-πλεγματικών μεθόδων. Μια σχετικά καινούργια και πολλά υποσχόμενη μη πλεγ- ματική μέθοδος είναι η μέθοδος Υδροδυναμικής Ρεόντων Σωματιδίων (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH). Η μέθοδος SPH αντιμετωπίζει τα υδροδυναμικά προβλήματα με την κατά Lagrange θεώρηση και διακριτοποιεί το ρευστό λαμβάνο- ντάς το ως ένα πεπερασμένο σύνολο σωματιδίων που φέρουν όλες τις ιδιότητες του ρευστού. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι αρχικά μια γενική παρουσίαση της μεθόδου SPH και της εφαρμογής των σχέσεών της στις εξισώσεις της ρευστομηχανικής. Κα- τόπιν αναπτύσσεται υπολογιστικός αλγόριθμος της μεθόδου σε 3 διαστάσεις και γίνε- ται έλεγχος της εγκυρότητάς του πάνω σε γνωστά προβλήματα ροών ελεύθερης επι- φάνειας. Ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται στην προσομοίωση πρόσκρουσης δέσμης νερού πάνω σε επίπεδη πλάκα, ως ένα τμήμα μια γενικότερης μελέτης προσομοίωσης της ροής σε υδροστροβίλους δράσης (Pelton και Turgo). Ο κώδικας γράφτηκε σε γλώσσα προγραμματισμού Fortran και για την οπτικοποί- ηση των αποτελεσμάτων έγινε χρήση του λογισμικού TecPlot. Ειδικότερα η εργασία είναι δομημένη ως εξής: Κεφ. 1 Γίνεται μια σύντομη αναφορά στις πλεγματικές και μη-πλεγματικές μεθό- δους και παρουσιάζονται τα πλεονεκτήματα και μειονεκτήματά τους. Κεφ. 2 Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος αναλύεται η μέθοδος SPH και γίνεται η εξαγωγή των γενικών σχέσεων. Παρουσιάζεται πώς μετα- τρέπονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις σε πεπερασμένα αθροίσματα. Στο δεύτερο μέρος γίνεται μετατροπή των εξισώσεων διατήρησης Euler σε SPH μορφή και ανα- φέρονται τρόποι αντιμετώπισης συνήθων προβλημάτων που συναντώνται κατά την εφαρμογή της μεθόδου. Τέλος γίνεται μια βιβλιογραφική αναφορά στις εφαρμογές της SPH στη ρευστομηχανική. Κεφ. 3 Γίνεται ανάλυση του υπολογιστικού αλγορίθμου της μεθόδου SPH που α- ναπτύχθηκε και χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση των ροών. Κεφ. 4 Εφαρμόζεται ο αλγόριθμος SPH σε τέσσερα διαφορετικά προβλήματα για τα οποία έχουν γίνει σχετικά εργαστηριακά πειράματα και έτσι είναι δυνατή η αξιολό- γηση της μεθόδου. Στην αρχή εξετάζεται σε τρεις διαστάσεις η πρόσπτωση δέσμης νερού με μεγάλη ταχύτητα πάνω σε επίπεδη πλάκα για διάφορες γωνίες πρόσπτω- σης. Κατόπιν προσομοιώνεται η κατάρρευση στήλης ύδατος σε δύο και τρεις διαστά- σεις. Έπειτα μελετάται η περίπτωση κατάρρευσης δεξαμενής νερού και πρόσκρου- σης σε εμπόδιο, σε δύο και τρεις διαστάσεις. Τέλος προσομοιώνεται η δημιουργία και μετάδοση κυμάτων από αντικείμενο που ολισθαίνει σε κεκλιμένη επιφάνεια, εξετάζο- ντας έτσι περιπτώσεις με κινούμενο όριο. Κεφ. 5 Αναφέρονται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου SPH στις περιπτώσεις του κεφαλαίου 4, αναλύονται τα προβλήματα και γί- νονται προτάσεις για την βελτίωση του αλγορίθμου, ώστε οι προσομοιώσεις να πλη- σιάζουν ακόμη περισσότερο στην πραγματικότητα. Τέλος στα παραρτήματα γίνεται μια σύντομη παρουσίαση της μεθόδου παράλλη- λης επεξεργασίας OpenMP, αναλύονται κάποια τμήματα του κώδικα SPH-JET-3D και παρατίθεται μια λίστα μεταβλητών που χρησιμοποιήθηκαν στον κώδικα.

The inability of conventional grid-based methods to calculate free surface flows and flows in complex geometries led to the development of meshfree methods. A relatively new and promising meshfree method is the Smoothed Particle Hydrodynamics method - SPH. The SPH method treats hydrodynamic problems in a Lagrange form, by discretizing the fluid and taking it as a finite set of particles which carry all the properties of the fluid. The purpose of this work is first a general presentation of the SPH method and the application of SPH method to the governing equations of fluid flow. Then we checked the validity of the SPH on well known free surface flow problems, giving particular weight to simulation of a water jet impingement on a flat plate , as a part of a broader study in simulating the flow in water turbines (Pelton and Turgo). For the simulation of flows a computer code in Fortran programming language was developed in Hydraulic Turbomachines Laboratory of NTUA. For the visualization of results the software TecPlot was used. More specifically, the work is structured as follows: Chapter. 1 A brief reference to grid-based and meshfree methods is done, presenting the advantages and disadvantages of each method. Chapter. 2 This section is divided into two parts. The first part discusses the method of SPH and the derivation of the general formulation. It is shown how to transform partial differential equations into finite summations. In the second part, after a brief reference to implementations of SPH in Fluid Dynamics, the Euler governing equations are converted in SPH form and it is explained how to treat usual problems encountered in implementing the method. Chapter 3 The algorithm developed to simulate flows with the SPH method is described and analyzed. Chapter 4 The SPH algorithm is applied to four different problems for which we had laboratory experimental results and thus it was possible to evaluate the method. In the beginning, the three dimensional impingement of a water jet on a flat plate is tested for various angles of incidence. Then a collapse of a water column in two and three dimensions is simulated. Next the case of a water tank collapsing and impacting on a barrier in two and three dimensions is examined. Finally the algorithm is applied to simulate the creation and transmission of waves, caused by a sliding object into inclined surface, testing cases including moving barrier. Chapter 5 Contains the conclusions from the implementation of the SPH method and as well as the problems and the suggestions for improving the algorithm so that it can provide more accurate results. Finally the annexes include a brief presentation of the method of parallel processing OpenMP, explanation of selected parts of the SPH-JET-3D algorithm and a list of variables used in the computer code.