Συζυγείς μέθοδοι για το σχεδιασμό μορφών με βέλτιστη αεροδυναμική συμπεριφορά σε στρωτές και τυρβώδεις ροές

Abstract

Η διδακτορική διατριβή αυτή ασχολείται με την ανάπτυξη, τον προγραμματισμό και την πιστοποίηση συζυγών μεθόδων για τον προσδιορισμό των παραγώγων ευαισθησίας συναρτήσεων κόστους στην αεροδυναμική/υδροδυναμική. Οι μέθοδοι που παρουσιάζονται ανήκουν στην κατηγορία των συνεχών συζυγών μεθόδων. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην ακρίβεια με την οποία υπολογίζονται οι ζητούμενες παράγωγοι ευαισθησίας για στρωτές και, κυρίως, για τυρβώδεις ασυμπίεστες ροές. Στην παρούσα διατριβή, το πεδίο εφαρμογής των παραπάνω μεθόδων περιλαμβάνει ροές σε πτερυγώσεις στροβιλομηχανών και αγωγούς. Ως τελική εφαρμογή και πέραν των προαναφερθεισών περιπτώσεων, οι οποίες εξάλλου αποτέλεσαν βάση για συγκρίσεις με αποτελέσματα άλλων μεθόδων για λόγους πιστοποίησης, το αναπτυχθέν λογισμικό εφαρμόστηκε για υπολογισμούς σε πραγματικό μοντέλο επιβατικού αυτοκινήτου, στο πλαίσιο συνεργασίας με ευρωπαϊκή αυτοκινητοβιομηχανία. Οι συζυγείς μέθοδοι αναπτύσσονται προκειμένου είτε να ενταχθούν σε ένα σχήμα βελτιστοποίησης μέσω μεθόδων βασισμένων στην κλίση της συνάρτησης κόστους, είτε για να χρησιμοποιηθούν οι υπολογιζόμενες παράγωγοι ευαισθησίας ώστε να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με τη συνεισφορά των στοιχείων της γεωμετρίας ενός σώματος στην αεροδυναμική του απόδοση. Ως επιπλέον στόχος της εργασίας αυτής είναι και η υποστήριξη μεθόδων υπολογισμού των παραγώγων δεύτερης τάξης, για μεθόδους τύπου Newton, οι οποίες όμως εκφεύγουν από τα όρια της διατριβής. Τονίζεται ότι η ανάπτυξη συνεχών συζυγών τεχνικών ικανών να υπολογίζουν με απόλυτη ακρίβεια τις ζητούμενες παραγώγους ευαισθησίας, κατάλληλες για οποιαδήποτε από τις παραπάνω χρήσεις, αποτελεί τον πρωτεύοντα στόχο της παρούσας διατριβής. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης οι οποίες στη συνέχεια χρησιμοποιούνται ανήκουν στις κλασικές της σχετικής βιβλιογραφίας και περαιτέρω διερεύνηση ή σύγκρισή τους δεν αποτελεί αυτοσκοπό της διατριβής. Οι συζυγείς διατυπώσεις που θα παρουσιαστούν στηρίζονται στη διατύπωση που έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο προηγούμενης διατριβής στο Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών (Δρ Δ.Ι. Παπαδημητρίου), εκεί όμως για συμπιεστές ροές. Η διατύπωση αυτή ήταν ακριβής για στρωτές ροές ενώ, για την περίπτωση των τυρβωδών ροών, βασίζονταν στην ευρύτατα χρησιμοποιούμενη παραδοχή ότι οι μεταβλητές του μοντέλου τύρβης ήταν ανεξάρτητες των μεταβλητών ελέγχου. Η παρούσα διατριβή, η οποία αφορά ασυμπίεστες ροές, χωρίς όμως αυτό να είναι περιοριστικό, επεκτείνει τη μέθοδο ώστε να είναι απόλυτα ακριβής και στις τυρβώδεις ροές. Για να επιτευχθεί αυτό προτείνει την εισαγωγή των συζυγών εξισώσεων των μοντέλων τύρβης, δηλαδή νέων εξισώσεων συζυγών ως προς αυτές του μοντέλου τύρβης. Επίσης, ας επισημανθεί ότι οι συζυγείς εκφράσεις για τις παραγώγους ευαισθησίας είναι ανεξάρτητες από τον προσδιορισμό μεταβολών των χωρικών γεωμετρικών ποσοτήτων και, άρα, οικονομικές σε υπολογιστικό κόστος. Ως βάση για τον προγραμματισμό της μεθόδου χρησιμοποιήθηκαν δύο προϋπάρχοντα λογισμικά επίλυσης των εξισώσεων της ροής, το ένα χρησιμοποιεί την μέθοδο της τεχνητής συμπιεστότητας και το άλλο τον αλγόριθμο SIMPLE οδηγώντας έτσι σε δύο διαφορετικά λογισμικά για την επίλυση των συζυγών εξισώσεων (το πρώτο σε γλώσσα Fortran77 και το δευτερο σε C++. Το χρησιμοποιούμενα μοντέλα τύρβης είναι δύο, το μοντέλο μιας εξίσωσης των Spalart-Allmaras και το μοντέλο δύο εξισώσεων k-ε. Κατά συνέπεια, δημιουργήθηκαν δύο διαφορετικές συζυγείς διατυπώσεις, μια για το συζυγές μοντέλο Spalart-Allmaras και μια για το συζυγές μοντέλο kα-εα. Οι διατυπώσεις αυτές καλύπτουν τόσο την περίπτωση μοντέλων χαμηλών αριθμών Reynolds όσο και μοντέλων υψηλών αριθμών Reynolds. Η πρώτη περίπτωση παρουσιάζεται, ενδεικτικά, για το συζυγές μοντέλου Spalart-Allmaras ενώ η δεύτερη για το μοντέλο kα-εα. Το πρώτο πρωτότυπο στοιχείο της διατριβής είναι ότι, για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία, παρουσιάζεται η ανάπτυξη και χρήση των συνεχών συζυγών εξισώσεων μοντέλου τύρβης· οι λίγες εργασίες που υλοποιούν αντίστοιχες μεθόδους βασίζονται αποκλειστικά στη διακριτή συζυγή μέθοδο. Για την περίπτωση του μοντέλου ροής που βασίζεται στις συναρτήσεις τοίχου, η ανάπτυξη οριακών συνθηκών για τις συζυγείς εξισώσεις στην περιοχή του τοίχου οδηγεί σε εκφράσεις οι οποίες εμπλέκουν την ταχύτητα τριβής και τις κάθετες στον τοίχο κλίσεις των μεταβλητών του συζυγούς μοντέλου τύρβης με ένα μέγεθος το οποίο ορίστηκε στο πλαίσιο της διατριβής ως συζυγής ταχύτητα τριβής. Η εισαγωγή της τελευταίας ποσότητας αποτελεί το δεύτερο βασικό στοιχείο πρωτοτυπίας της διατριβής, μιάς και για πρώτη φορά εισάγεται η έννοια αυτή στη σχετική βιβλιογραφία. Τέλος, η διατριβή ασχολείται με την ανάπτυξη συζυγών τεχνικών και για προβλήματα ελέγχου (της αποκόλλησης της) ροής. Εδώ, στόχος είναι ο προσδιορισμός των πλέον αποδοτικών θέσεων στις οποίες συμφέρει να εφαρμοστεί ενεργητικός έλεγχος της ροής με δέσμες ρευστού. Τα κριτήρια σχεδιασμού είναι συγκεκριμένα και καθορίζονται από τις συναρτήσεις-κόστους που χρησιμοποιούνται στο συζυγές πρόβλημα, λ.χ. η ελαχιστοποίηση της αντίστασης μιας αεροδυναμικής μορφής. Στη συγκεκριμένη κατηγορία προβλημάτων οι μεταβλητές σχεδιασμού είναι οι ίδιες οι τιμές των ροϊκών μεγεθών στο τμήμα του ορίου το οποίο μελετάται. Η συγκεκριμένη χρήση συνεχών συζυγών τεχνικών παρουσιάζεται για πρώτη φορά στη βιλιογραφία. Λέξεις κλειδιά: Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Συζυγείς Μεθόδοι, Συζυγή Μοντέλα Τύρβης, Παράγωγοι Ευαισθησίας, Θερμικές Στροβιλομηχανές, Βελτιστοποίηση.

This PhD thesis focuses on the development, programming and assessment of adjoint methods for sensitivity analysis and optimization problems in aerodynamics/hydrodynamics. The thesis is exclusively concerned with continuous adjoint methods. Emphasis is paid to the accuracy of the computed sensitivity derivatives and, for this purpose, a solid mathematical background for developing adjoint formulations for both laminar and turbulent incompressible flows, is presented. The steepest descent method, supported by the exact gradient of the cost function, is used whenever an optimization problem is solved. Case studies related to turbomachinery blade airfoils and duct flows are presented. In addition, in the context of collaboration of the Parallel CFD & Optimization Unit of NTUA with a European automotive industry, the proposed methods and software were also applied in a real car configuration. The developed continuous adjoint methods are utilised to produce sensitivity maps on aerodynamic bodies and in gradient-based optimization procedures. A secondary objective of this thesis is to propose adjoint methods that can be used for the computation of the Hessian matrix, in Newton optimization methods. The developed adjoint methods are based on the continuous adjoint formulation proposed in a previous PhD thesis (by Dr. D.I. Papadimitriou) in the same Lab., which was however developed for compressible flows. That formulation was capable of computing accurate sensitivity derivatives in laminar flows, but this was not the case in turbulent ones, in which the usual assumption that the turbulence model quantities are not affected by the control vaiables was made. In view of the above, the present thesis proposes the development and additional solution of the adjoint to the turbulence model's equations. It is worth noting that the final adjoint sensitivity derivative expressions do not contain field integrals of mesh quantity variations, even if the cost function does, which is beneficial from the point of view of both accuracy and computing cost. The proposed adjoint software was programmed on the basis of two different Navier-Stokes solvers, for incompressible flows. The first one uses the pseudo-compressibility method while the second one solves the flow equations in a segregated manner using the SIMPLE algorithm. Hence, two different adjoint solvers have been programmed, in Fortran77 and in C++, respectively. Furthermore, two different turbulence models have been utilized, the Spalart-Allmaras and the k-ε. The adjoint formulations that are presented in this thesis cover both low and high Reynolds number turbulence models. The low-Reynolds adjoint formulation relies on the Spalart-Allmaras turbulence model whereas the high-Reynolds one on the k-ε model. The first point of novelty of the thesis is that this is the first time the continuous adjoint to the turbulence model equation(s) is presented; though there exist a few similar research papers based on discrete adjoints, none of them deals with the continuous methods. Regarding high-Reynolds number turbulence models, the mathematical formulation of the adjoint boundary conditions over the wall boundaries leads to the introduction of the adjoint friction velocity for the first time in the literature of adjoint methods. The latter is the second novelty of this PhD thesis. The adjoint friction velocity is related to the adjoint stress at the wall via the friction velocity of the primal problem and the normal to the wall gradients of the adjoint to the k and ε variables. The proposed adjoint method is also used as the basis for developing optimization tools for the optimal placement of active flow control devices over an aerodynamic body. It is the sensitivity map produced from the adjoint method that indicates these positions. In such a case, the design variables of the control problem are the jet velocity components over the wall boundary. Methods for this kind of flow control applications is another point of novelty of this thesis. Keywords: Computational Fluid Dynamics, Adjoint Methods, Adjoint Turbulence Models, Sensitivity Derivatives, Thermal Turbomachines, Optimization.