Ανωτέρου βαθμού αριθμητικά πεδία μη αρνητικών πινάκων και πολυωνυμικών πινάκων

Abstract

Στον κβαντικό προγραμματισμό, η πληροφορία αποθηκεύεται με τη μορφή κβαντικών ψηφίων και στη συνέχεια μεταδίδεται μέσω ενός κβαντικού καναλιού. Η θεωρία αυτή οδήγησε τους ερευνητές στον ορισμό του κ-βαθμού αριθμητικού πεδίου ενός nxn μιγαδικού πίνακα Α ως το σύνολο Λκ(Α)={λ∈C: PAP=P κ-βαθμού ορθογώνια προβολή Ρ}. Το σύνολο αυτό είναι κυρτό και συμπαγές και για κ=1, ταυτίζεται με το κλασικό αριθμητικό πεδίο F(A). Στην παρούσα διατριβή αποδεικνύεται οτι το Λκ(Α) ισούται με την άπειρη τομή των αριθμητικών πεδίων όλων των συστολών του πίνακα Α σε (n-κ+1)-διάστατους υποχώρους, ενώ με περαιτέρω επεξεργασία της τομής αυτής συμπεραίνουμε οτι αρκεί μια αριθμήσιμη οικογένεια nx(n-κ+1) ισομετριών. Οι ισότητες μας οδηγούν σε ισοδύναμους χαρακτηρισμούς των κ-βαθμού αριθμητικών ακτίνων του Λκ(Α) δίνοντας μια εκτίμηση αυτών των ποσοτήτων. Παράλληλα, διαπραγματεύομαστε το Λκ(Α) στην περίπτωση των μη αρνητικών πινάκων με πολλαπλές ιδιοτιμές μέγιστου μέτρου. Αποδεικνύουμε οτι το πλήθος των σημείων του συνόλου με τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή διατηρείται ίσος με το πλήθος των μέγιστων ιδιοτιμών του, ενώ η κατεύθυνση τους διαφέρει. Επεκτείνουμε τον ορισμό στους πολυωνυμικούς πίνακες L(λ) ως Λκ(L(λ))={λ∈C: PL(λ)P=0 για κ-βαθμού ορθογώνια προβολή Ρ} και μελετάμε θεμελιώδεις αλγεβρικές και γεωμετρικές του ιδιότητες. Παρουσιάζουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για το φραγμένο του συνόλου, καθώς επίσης δείχνουμε οτι ο αριθμός των συνεκτικών συνιστωσών του Λκ(L(λ)) δεν ξεπερνάει τον αριθμό 2m, όπου m είναι ο βαθμός του L(λ). Επιπλέον, ερευνάμε και τα γωνιακά σημεία του συνόλου. Τέλος, γενικεύοντας το Αλγεβρικό αριθμητικό ορίζουμε το qαριθμητικό πεδίο τετραγωνικών και μη τετραγωνικών πινάκων. Επιπλέον, προτείνουμε δυο εναλλακτικούς ορισμούς για το αριθμητικό πεδίο μη τετραγωνικών πινάκων μέσω της έννοιας της ορθογώνιας προβολής σε υπόχωρο κατάλληλης διάστασης.

In quantum computing, information is stored in quantum bits and transmitted through an quantum channel. In the context of this theory, researchers defined the k-rank numerical range of an nxn complex matrix by the set Λκ(Α)={λ∈C: PAP=P for some k-rank orthogonal projection Ρ}. The set is convex and compact and for k=1 is reduced to the classical numerical range F(A). In this dissertation, Λκ(Α) is proved to coincide with an indefinite intersection of numerical ranges of all the compressions of A to (n-k+1)-dimensional subspaces, whereupon after some further elaboration is proved that a countable family of nx(n-k+1) isometries is enough. These equalities provide equivalent chracterizations of the k-rank numerical radii. In addition, we study Λκ(Α) in case of nonnegative matrices with multiple eigenvalues of maximum modulus. Their number is proved to coincide with that of the elements of Λκ(Α) with maximum modulus, although their direction differs. We also extend the definition to matrix polynomials L(λ) by the set Λκ(L(λ))={λ∈C: PL(λ)P=0 for some k-rank orthogonal projection P} and investigate its fundamental algebraic and geometric properties. We present necessary and sufficient conditions for its boundedness and prove that it has at most 2m connected components, where m is the degree of L(λ). Further, we study the sharp points of the set. Moreover, the q-numerical range of square and rectangular matrices is defined, generalizing the algebraic numerical range. Finally, two alternative definitions of numerical range for rectangular matrices are proposed via the orthogonal projection onto subspaces of suitable dimension.