Προβλήματα συγκεντρωμένων φορτίων και συναρτήσεις Green στην θεωρία ελαστικότητας τύπου βαθμίδας

Abstract

Αντικείμενο της διατριβής είναι η μελέτη προβλημάτων συγκεντρωμένων φορτίσεων σε ημι-χώρους και σε πλήρεις χώρους, στα πλαίσια της Διπολικής Θεωρίας Βαθμίδας των Toupin και Mindlin. Ειδικότερα, μετά την παρουσίαση της διπολικής θεωρίας βαθμίδας, επιλύονται στα πλαίσια της θεωρίας αυτής τα προβλήματα Flamant-Boussinesq, Kelvin, Boussinesq και Cerruti. Το κύριο μέλημα της μελέτης είναι να προσδιορίσουμε πιθανές αποκλίσεις από τις προβλέψεις της κλασικής γραμμικής ελαστοστατικής, όταν χρησιμοποιείται μία πιο εξελιγμένη θεωρία για την αντιμετώπιση του προβλήματος. Ειδικής σημασίας είναι η συμπεριφορά των νέων λύσεων κοντά στο σημείο εφαρμογής του φορτίου όπου υπάρχουν παθολογικές ανωμαλίες και ασυνέχειες στην κλασική λύση. Η χρήση της θεωρίας βαθμίδας ελαστικότητας προορίζεται εδώ να μοντελοποιήσει την μικροδομή του υλικού, λαμβάνοντας υπόψιν τα φαινόμενα κλίμακας στην ανάλυση τάσεων κατά τέτοιο τρόπο που η κλασική ελαστικότητα δεν μπορεί να ανταποκριθεί. Χρησιμοποιείται μία απλή αλλά αυστηρή εκδοχή των γενικευμένων θεωριών ελαστικότητας των Toupin και Mindlin, η οποία περιέχει μία ισότροπη γραμμική απόκριση και μόνο μία υλική σταθερά (τον λεγόμενο συντελεστή βαθμίδας) επιπρόσθετη των καθιερωμένων σταθερών Lamé της κλασικής ελαστικότητας. Η θεωρία αυτή, που μπορεί να θεωρηθεί ως μία πρώτης τάξης επέκταση της κλασικής ελαστικότητας, υποθέτει ότι η πυκνότητα παραμορφωσιακής ενέργειας εκτός από την εξάρτηση από τους καθιερωμένους όρους τροπής, εξαρτάται επιπλέον και από τις βαθμίδες τροπής. Η μέθοδος επίλυσης βασίζεται στους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς και είναι ακριβής. Τα αποτελέσματα δείχνουν σημαντικές διαφορές από τα αντίστοιχα της κλασικής ελαστικότητας. Όντως, προβλέπονται συνεχείς και φραγμένες μετατοπίσεις στο σημείο εφαρμογής των φορτίων. Μία τέτοια συμπεριφορά του πεδίου μετατοπίσεων είναι, βεβαίως, πιο φυσική από την ανώμαλη συμπεριφορά που υπάρχει στις κλασικές λύσεις. Η ύπαρξη ενός φραγμένου πεδίου, στα πλαίσια της θεωρίας βαθμίδας, μπορεί να ερμηνευθεί από το γεγονός ότι η θεωρία αυτή γενικά παρέχει λύσεις οι οποίες παρουσιάζουν υλική απόκριση μεγαλύτερης ακαμψίας σε σχέση με τις αντίστοιχες κλασικές λύσεις. Με βάση τα τρέχοντα αποτελέσματα καθώς επίσης και τα πρόσφατα αποτελέσματα για προβλήματα εξαρμώσεων και ρωγμών μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η βαθμίδα ελαστικότητας είναι ανώτερη τόσο της κλασικής ελαστικότητας όσο και της θεωρίας ελαστικότητας Cosserat (ή μικροπολικής).

The subject of this work is the solution of concentrated load problems within the framework of Dipolar Gradient Elasticity. In particular, after presenting the theoretical foundations of Toupin-Mindlin Dipolar Gradient Theory, the problems of Flamant-Boussinesq, Kelvin, Boussinesq and Cerruti are studied. Our main concern is to determine possible deviations from the predictions of plane-strain / plane-stress classical linear elastostatics when a more refined theory is employed to attack the problems. Of special importance is the behavior of the new solutions near to the point of application of the loads where pathological singularities and discontinuities exist in the classical solutions. The use of the theory of gradient elasticity is intended here to model material microstructure and incorporate size effects into stress analysis in a manner that the classical theory cannot afford. A simple but yet rigorous version of the generalized elasticity theories of Toupin and Mindlin is employed that involves an isotropic linear response and only one material constant (the so-called gradient coefficient) additional to the standard Lamé constants. This theory, which can be viewed as a first-step extension of the classical elasticity theory, assumes a strain-energy density function, which besides its dependence upon the standard strain terms, depends also on strain gradients. The solution method is based on integral transforms and is exact. The present results show departure from the ones of the classical elasticity solutions). Indeed, continuous and bounded displacements are predicted at the points of application of the loads. Such a behavior of the displacement fields is, of course, more natural than the singular behavior present in the classical solutions. The occurrence of a bounded field, within the context of the Toupin–Mindlin gradient elasticity, can be explained by the fact that this theory generally provides solutions exhibiting material response of increased stiffness as compared to classical elasticity. Based on the current results, as well as recent results for dislocation and crack problems, we can state that gradient elasticity is superior to both classical elasticity and Cosserat elasticity.